O limite lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2 vale 0 quando aproximamos (x, y) (0,0) por meio das retas x= 0 e y=0. Pela definição de limites aplicada a funções de duas variáveis, é correto afirmar que lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis: queremos saber se
lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+y^2=0
com base apenas nas aproximações pelas retas x=0 e y=0. Vamos usar conceitos de definição de limite em R^2 e ver por que testar só essas duas retas não é suficiente.

Passo 2

Quando definimos lim(x,y)to(0,0) f(x,y)=L, precisamos garantir que para toda sequência ou caminho que leve (x,y) a (0,0), o valor de f(x,y) se aproxime de L. Testar apenas duas direções ( x=0 e y=0) deixa de fora infinitos outros caminhos possíveis.

Passo 3

Para ilustrar, examinemos o caminho genérico y=mx com minR. Substituindo em f(x,y)=x y^2x^2+y^2 temos
x,(m x)^2x^2+(m x)^2=m^2 x^3x^2(1+m^2)=m^21+m^2,x
À medida que xto0, isso tende a 0 para qualquer m. Mesmo assim, isso não prova que só testar retas é suficiente; mostra apenas que ao longo de qualquer reta o limite é zero. A definição exige que para todo (x,y) suficientemente próximo de (0,0) (em todas as direções, curvas, trajetórias), f(x,y) esteja próximo de 0. Então precisamos de um argumento global.

Passo 4

Usamos um critério de desigualdade. Observe que
|x,y^2x^2+y^2|<=|x|,y^2x^2+y^2<=|x|,y^2y^2=|x|
é também verdade que
|x,y^2x^2+y^2|<=x,y^2x^2= y^2
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|x,y^2x^2+y^2|<=min|x|,y^2
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0 e y^2to0, esse minímo também vai a zero. Assim, por definição de limite em R^2, fica provado que o limite de f(x,y) é 0.

Resposta

Não, testar apenas as retas x=0 e y=0 não é suficiente para concluir pela definição que o limite existe; porém, usando desigualdades gerais, de fato lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+y^2=0.

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