O limite vale 0 quando aproximamos por meio das retas 0 e . Pela definição de limites aplicada a funções de duas variáveis, é correto afirmar que ?
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis: queremos saber se
com base apenas nas aproximações pelas retas e . Vamos usar conceitos de definição de limite em e ver por que testar só essas duas retas não é suficiente.
Passo 2
Quando definimos , precisamos garantir que para toda sequência ou caminho que leve a , o valor de se aproxime de . Testar apenas duas direções ( e ) deixa de fora infinitos outros caminhos possíveis.
Passo 3
Para ilustrar, examinemos o caminho genérico com . Substituindo em temos
À medida que , isso tende a para qualquer. Mesmo assim, isso não prova que só testar retas é suficiente; mostra apenas que ao longo de qualquer reta o limite é zero. A definição exige que para todo suficientemente próximo de (em todas as direções, curvas, trajetórias), esteja próximo de . Então precisamos de um argumento global.
Passo 4
Usamos um critério de desigualdade. Observe que
é também verdade que |x,y^2x^2+y^2|<=x,y^2x^2= y^2
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|x,y^2x^2+y^2|<=min|x|,y^2
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0 e y^2to0, esse minímo também vai a zero. Assim, por definição de limite em R^2, fica provado que o limite de f(x,y) é 0.
Resposta
Não, testar apenas as retas x=0 e y=0 não é suficiente para concluir pela definição que o limite existe; porém, usando desigualdades gerais, de fato lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+y^2=0.