O limite lim N infty integrala^N f, se este existe, denota-se por integrala^infty f ou (integrala^infty f(x) d x), e chama-se integral impróprio.
(star) Use o exercício 7 para mostrar que integral1^infty 1x d x não existe. Sugestão: O que pode dizer sobre integral1^2^n 1x d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral1^infty1x,dx
não existe (ou seja, diverge). Pela definição de integral imprópria, temos
integral1^infty1x,dx = limNtoinftyintegral1^N1x,dx
Para prosseguir, vamos usar do Exercício 7 o resultado de que, para todo b>0,
integral1^b1x,dx = ln(b)

Passo 2

Escolhemos uma sequência de valores b = 2^n com ninN. Então
integral1^2^n1x,dx = lnl(2^nr)

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo, obtemos
lnl(2^nr) = n,ln(2)

Passo 4

Como ln(2)>0, o termo n,ln(2) cresce sem limite quando ntoinfty. Logo
integral1^2^n1x,dx = n,ln(2);longrightarrow;infty
Isto mostra que
limNtoinftyintegral1^N1x,dx
não é um número finito.

Resposta

A integral imprópria
integral1^infty1x,dx
diverge, ou seja, não existe como valor finito.

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