O limite lim N infty integrala^N f, se este existe, denota-se por integrala^infty f ou (integrala^infty f(x) d x), e chama-se integral impróprio.
(star) Determine integral1^infty x^r d x, se r<-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty x^r,dx
quando r<-1. Para isso, vamos usar a definição
integral1^infty x^r,dx = limNtoinfty integral1^N x^r,dx
e a primitiva de x^r.

Passo 2

Como rneq -1, uma primitiva de x^r é
integral x^r,dx = x^r+1r+1
Logo
integral1^N x^r,dx = x^r+1r+1|1^N = N^r+1-1r+1

Passo 3

Substituímos na definição imprópria:
integral1^infty x^r,dx = limNtoinftyN^r+1-1r+1
Como r<-1 implica r+1<0, temos N^r+1to0 quando Ntoinfty.

Passo 4

Portanto
integral1^infty x^r,dx = 0-1r+1 = -1r+1
Note que, por r+1<0, o valor final é positivo e a integral converge.

Resposta

integral1^infty x^r,dx = -1r+1, r<-1

Exercícios relacionados