Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que, a partir do instante em que ocorreu a avaria, o volume V de gasolina restante no reservatório, em quilolitros, em função do tempo t, em horas, podia ser calculado por: V(t)=-2 t^2-8 t+120.
a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reservatório 3 horas depois da ocorrência da avaria?
b) Calcule a capacidade desse reservatório, sabendo que ele estava completamente cheio no momento em que ocorreu a fissura.
c) Qual será o tempo necessário para que o reservatório fique vazio, caso os técnicos não consigam realizar o conserto?
d) Para que sejam salvos 80 % da gasolina do reservatório, em quanto tempo os técnicos deverão realizar o conserto?

Passo 1

O enunciado dá a função do volume de gasolina restante em função do tempo desde a fissura:
V(t) = -2t^2 - 8t + 120,
onde V está em quilolitros e t em horas. Vamos:
  1. Avaliar V(3) para o item (a).
  2. Avaliar V(0) para o item (b).
  3. Resolver V(t)=0 para o item (c).
  4. Resolver V(t)=0,8cdot V(0) para o item (d).

Passo 2

Para (a) basta substituir t=3 na expressão de V(t):
V(3) = -2,(3)^2 ;-;8,(3);+;120
Calculando:
-2cdot9 = -18, -8cdot3 = -24,
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V(3) = -18 - 24 + 120 = 78

Passo 3

Para (b) a capacidade total é o volume no instante t=0, isto é,
V(0) = -2cdot0^2 - 8cdot0 + 120 = 120

Passo 4

Para (c) encontramos o tempo em que V(t)=0, resolvendo
-2t^2 - 8t + 120 = 0
Dividindo tudo por -2 fica
t^2 + 4t - 60 = 0
As raízes são
t = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-60)2 = -4 pm raiz16 + 2402 = -4 pm 162
Descartamos a raiz negativa e ficamos com
t = -4 + 162 = 6

Passo 5

Para (d) queremos salvar 80% da gasolina, ou seja 0,8cdot120 = 96 quilolitros. Então resolvemos
-2t^2 - 8t + 120 = 96
Subtraindo 96:
-2t^2 - 8t + 24 = 0 Longrightarrow t^2 + 4t - 12 = 0
As raízes são
t = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-12)2 = -4 pm raiz16 + 482 = -4 pm 82
A única solução positiva é
t = -4 + 82 = 2

Resposta

(a) 78 quilolitros
(b) 120 quilolitros
(c) 6 horas
(d) 2 horas

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