O limite lim x +infty ln (1+1x)2x vale:
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Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
lim x +infty ln (1+1x)2x
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente, a manipulação de funções logarítmicas e racionais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica usada quando encontramos indeterminações como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação que temos aqui. Para isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando $ x $ tende a $ +\infty $.
  • Numerador: $ \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $
    • Quando $ x $ vai para $ +\infty $, $ \frac{1}{x} $ tende a 0.
    • Logo, $ \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0 $.
  • Denominador: $ \frac{2}{x} $
    • Quando $ x $ vai para $ +\infty $, $ \frac{2}{x} $ também tende a 0.
Portanto, temos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se limx to c f(x)g(x) resulta em uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, então:
00
Desde que o limite da derivada exista.
Vamos agora derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador $ f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $:
    Usamos a regra da cadeia:
    inftyinfty
  • Derivada do denominador $ g(x) = \frac{2}{x} $:
    limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x +infty ln (1+1x)2x = lim x +infty f'(x)g'(x) = lim x +infty -1x^2 + x -2x^2
Os sinais negativos se cancelam:
= lim x +infty 1x^2 + x cdot x^22 = lim x +infty x^22(x^2 + x)
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ x^2 $:
x^2

Resposta

O limite vale $ \frac{1}{2} $.

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