O limite
vale:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente, a manipulação de funções logarítmicas e racionais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica usada quando encontramos indeterminações como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação que temos aqui. Para isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando $ x $ tende a $ +\infty $.
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Numerador: $ \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $
- Quando $ x $ vai para $ +\infty $, $ \frac{1}{x} $ tende a 0.
- Logo, $ \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0 $.
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Denominador: $ \frac{2}{x} $
- Quando $ x $ vai para $ +\infty $, $ \frac{2}{x} $ também tende a 0.
Portanto, temos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se
resulta em uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, então:
Desde que o limite da derivada exista.
Vamos agora derivar o numerador e o denominador separadamente.
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Derivada do numerador $ f(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $:Usamos a regra da cadeia:
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Derivada do denominador $ g(x) = \frac{2}{x} $:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Os sinais negativos se cancelam:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ x^2 $:
Resposta
O limite vale $ \frac{1}{2} $.