O limite
é igual a:
0
0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para encontrar o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e funções trigonométricas (no caso, o seno). Para resolver, vamos simplificar a expressão passo a passo utilizando propriedades das funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Temos $ e^{x} $ no numerador e $ e^{2x} $ no denominador. Lembre-se que quando temos exponenciais com a mesma base, podemos subtrair os expoentes:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte separadamente. Sabemos que $ e^{-x} $ tende a 0 quando $ x $ tende ao infinito, porque $ e^{-x} = \frac{1}{e^{x}} $ e $ e^{x} $ cresce muito rápido.
Já a parte do seno, $ \operatorname{sen}\left(e^{3 x^{2}}\right) $, é um pouco mais complicada. O argumento do seno, $ e^{3 x^{2}} $, também tende a infinito quando $ x $ tende ao infinito. Mas o seno de um número grande oscila entre -1 e 1, independentemente do quão grande o argumento seja.
Passo 4
Como o seno oscila entre -1 e 1, $ \operatorname{sen}{3}\left(e{3 x^{2}}\right) $ também oscila entre -1 e 1. Portanto, podemos afirmar que:
Multiplicando todos os termos por $ 3 e^{-x} $, que é positivo para todo $ x $:
Passo 5
Agora, sabemos que $ e^{-x} $ tende a 0 quando $ x $ tende ao infinito. Então, tanto $ -3 e^{-x} $ quanto $ 3 e^{-x} $ tendem a 0.
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se uma função está entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela própria tende a esse limite. Portanto:
Resposta
O limite é igual a 0.