O limite da sequência \left(\frac{n^{2}}{3 n-1} \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}\right) é:
(a) \frac{\pi}{3}
(b) \frac{\pi}{6}
(c) \frac{\pi}{2}
(d) 3 \pi

Passo 1

O enunciado pede L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3n-1}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de sequência e vamos usar a propriedade de que, para x\to0, \displaystyle\frac{\sin x}{x}\to1.

Passo 2

Reescrevemos o termo de forma a isolar \sin(\pi/n) sobre \pi/n:
\frac{n^{2}}{3n-1}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) = \frac{n}{3n-1}\;\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\;\pi.
Ao passar ao limite, temos \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n-1}=\frac{1}{3}
e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=1.
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L=\frac{1}{3}\cdot1\cdot\pi=\frac{\pi}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\pi}{3}

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