Encontre os pontos extremos da função:
f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+2 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos onde a função
f(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 2x_{1}^{2} + 4x_{2}^{2} + 6
tem extremos. Isso envolve calcular os pontos críticos resolvendo \nabla f = 0 e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto como mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais e igualando a zero:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = 3x_{1}^{2} + 4x_{1} = x_{1}(3x_{1} + 4)
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 3x_{2}^{2} + 8x_{2} = x_{2}(3x_{2} + 8)
Para \nabla f=0 precisamos de \,x_{1}(3x_{1}+4)=0 e \,x_{2}(3x_{2}+8)=0.
Isso gera as soluções
x_{1}=0 \quad\text{ou}\quad x_{1}=-\tfrac{4}{3}, \qquad x_{2}=0 \quad\text{ou}\quad x_{2}=-\tfrac{8}{3}.
Logo, os pontos críticos são
(0,0),\quad (0,-\tfrac{8}{3}),\quad (-\tfrac{4}{3},0),\quad (-\tfrac{4}{3},-\tfrac{8}{3}).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana para classificar cada ponto:
H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x_{1}+4 & 0 \\[3pt] 0 & 6x_{2}+8 \end{pmatrix}.
Em cada ponto crítico avaliamos os elementos da diagonal:
  1. Em (0,0):
    \,6x_{1}+4 = 4>0 e \,6x_{2}+8 = 8>0.
    Ambos positivos ⇒ Hessiana definida positiva ⇒ mínimo local.
  2. Em (0,-\tfrac{8}{3}):
    \,6\cdot0+4 = 4>0 e \,6(-\tfrac{8}{3})+8 = -16+8 = -8<0.
    Sinais opostos ⇒ Hessiana indefinida ⇒ ponto de sela.
  3. Em (-\tfrac{4}{3},0):
    \,6(-\tfrac{4}{3})+4 = -8+4 = -4<0 e \,6\cdot0+8 = 8>0.
    Sinais opostos ⇒ ponto de sela.
  4. Em (-\tfrac{4}{3},-\tfrac{8}{3}):
    \,6(-\tfrac{4}{3})+4 = -8+4 = -4<0 e \,6(-\tfrac{8}{3})+8 = -16+8 = -8<0.
    Ambos negativos ⇒ Hessiana definida negativa ⇒ máximo local.]

Resposta

O ponto (0,0) é mínimo local.
O ponto (-\tfrac{4}{3},-\tfrac{8}{3}) é máximo local.
Os pontos (0,-\tfrac{8}{3}) e (-\tfrac{4}{3},0) são pontos de sela.

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