Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sec} (x+a)-\operatorname{sec} a}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sec}(x+a) - \operatorname{sec} a}{x}
Isso é exatamente a diferença quociente que define a derivada da função f(x)=\operatorname{sec} x no ponto x=a.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada, para f(x)=\operatorname{sec} x temos
f'(a) = \lim_{x\to0} \frac{f(a+x) - f(a)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sec}(a+x) - \operatorname{sec} a}{x}.
Portanto, o limite que precisamos é f'(a).

Passo 3

Sabemos pela regra de derivação de funções trigonométricas que
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x] = \operatorname{sec} x \tan x.
Logo, avaliando no ponto x=a, obtemos
f'(a) = \operatorname{sec} a \,\tan a.

Resposta

\operatorname{sec} a \tan a

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