Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x+a)-\operatorname{tg} a}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(x+a)-\operatorname{tg}a}{x}
Esse tipo de limite é a definição de derivada da função f(u)=\tan(u) em u=a. Vamos usar a interpretação de quociente de diferença para reconhecer que temos f'(a) e em seguida aplicar a regra de derivada de \tan(u).

Passo 2

Reconhecendo o quociente de diferença, definimos
f(u)=\tan(u)
e notamos que, ao fazer u=x+a, temos
\frac{\operatorname{tg}(x+a)-\operatorname{tg}(a)}{x} =\frac{f(a+x)-f(a)}{x}.
Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(x+a)-\operatorname{tg}(a)}{x} =f'(a).

Passo 3

Sabemos que a derivada de \tan(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u).
Logo,
f'(a)=\operatorname{sec}^2(a).

Resposta

\operatorname{sec}^2(a) (ou \frac{1}{\cos^2(a)})

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