Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x+a)-\cos a}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x+a)-\cos a}{x},
que é exatamente o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \cos t no ponto t=a. Vamos usar limites e identidade trigonométrica para diferenças de cossenos.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos A - \cos B = -2\,\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr).
Tomando A=x+a e B=a, temos
\cos(x+a)-\cos a = -2\,\sin\!\bigl(a+\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo o quociente vira
\frac{\cos(x+a)-\cos a}{x} = -2\,\sin\!\bigl(a+\tfrac{x}{2}\bigr)\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x}.

Passo 3

Reescrevendo \displaystyle \frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{x}=\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}, o quociente fica
-2\,\sin\!\bigl(a+\tfrac{x}{2}\bigr)\,\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2} = -\sin\!\bigl(a+\tfrac{x}{2}\bigr)\,\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}.

Passo 4

Ao fazermos x\to0, vale
\sin\!\bigl(a+\tfrac{x}{2}\bigr)\to\sin a \quad\text{e}\quad \frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\to1,
logo o limite é
-\,\sin a.

Resposta

-\sin a

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