(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Limite com módulo) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar o limite
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve o valor absoluto |x-1| e o denominador x-1.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=1.
  • Note que em x=1 a expressão não está definida (denominador =0), então é necessário analisar o comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Relembrar a definição do valor absoluto e escrever a função de forma piecewise (por partes) para x\) próximo de \(1\), mas diferente de \(1\). A definição do valor absoluto é: \[|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 1-x, & \text{se } x<1. \end{cases}
Para o estudo do limite, interessa o caso x>1\] (aproximação pela direita) e \(x<1 (pela esquerda). Em ambos esses casos o denominador x-1 é diferente de zero, então podemos simplificar a expressão nesses intervalos.]

Passo 3

Cálculo do limite à direita ( x\to1^+). Para x>1 temos |x-1|=x-1. Substituindo na fração:
\frac{|x-1|}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1,\qquad \text{para } x>1.
Como a expressão é identicamente 1 em todo um intervalo à direita de 1, segue que
\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}=1.

Passo 4

Cálculo do limite à esquerda ( x\to1^-). Para x<1 temos |x-1|=1-x. Substituindo:
\frac{|x-1|}{x-1}=\frac{1-x}{x-1}.
Observe que 1-x=-(x-1), então
\frac{1-x}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1,\qquad \text{para } x<1.
Portanto
\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x-1}=-1.

Passo 5

Conclusão usando a definição de limite: o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe somente se os limites laterais à direita e à esquerda forem iguais. Aqui temos
\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x-1}=-1,
que são diferentes. Logo o limite bilateral não existe.

Resposta

Não existe.

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