(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Limite com módulo)
(Limite com módulo)
Passo 1
O enunciado pede para calcular e justificar o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve o valor absoluto
e o denominador . - O ponto onde o limite é pedido é
. - Note que em
a expressão não está definida (denominador ), então é necessário analisar o comportamento quando se aproxima de pela direita e pela esquerda.
Passo 2
Relembrar a definição do valor absoluto e escrever a função de forma piecewise (por partes) para
Para o estudo do limite, interessa o caso
(pela esquerda). Em ambos esses casos o denominador
é diferente de zero, então podemos simplificar a expressão nesses intervalos.]
Passo 3
Cálculo do limite à direita (
). Para
temos
. Substituindo na fração:
Como a expressão é identicamente
em todo um intervalo à direita de
, segue que
Passo 4
Cálculo do limite à esquerda (
). Para
temos
. Substituindo:
Observe que
, então
Portanto
Passo 5
Conclusão usando a definição de limite: o limite
existe somente se os limites laterais à direita e à esquerda forem iguais. Aqui temos
que são diferentes. Logo o limite bilateral não existe.
Resposta
Não existe.