(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Limites no infinito)
(Limites no infinito)
Passo 1
O enunciado pede que se calculem dois limites no infinito e que se justifiquem os passos. Os limites são:
-
. -
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Ambos são quocientes de polinômios (funções racionais).
- O primeiro limite tem a variável tendendo para
. - O segundo limite tem a variável tendendo para
.
Passo 2
Estratégia e ideias que vamos usar (explicação didática):
- Quando lidamos com um quociente de polinômios, o comportamento para
é dominado pelos termos de maior grau (os termos de maior potência). - Uma técnica prática e segura é dividir numerador e denominador pelo maior potência de
que aparece (o grau máximo entre numerador e denominador). Isso transforma cada termo em algo como constante, , , etc.; esses últimos tendem a quando . - Consequências úteis:
- Se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é menor, o limite é
. - Se o grau do numerador é maior, o limite é
(o sinal depende dos sinais dos coeficientes dominantes e do sentido em que tende).
Vou aplicar essa técnica em cada limite, mostrando passo a passo por que os termos menores desaparecem.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite
O maior expoente presente é
. Divido numerador e denominador por
:
Agora observo o comportamento dos termos que contêm
no denominador quando
:
Portanto, tomando limite em cima:
Logo o primeiro limite vale
.
Passo 4
Cálculo do segundo limite
Aqui o maior expoente envolvido é
(aparece no denominador). Divido numerador e denominador por
:
Agora, quando
temos
Observação: mesmo que
tenda a
vindo de sinais negativos (porque
é negativo), o valor limite é
. Assim
Intuição: o denominador cresce como
(muito mais rápido em módulo do que o numerador que cresce como
), então o quociente tende a
.
Passo 5
Resumo rápido dos resultados obtidos:
- Primeiro limite: os termos de grau menor desaparecem ao dividir por
e o limite fica igual à razão dos coeficientes dos termos de grau . - Segundo limite: grau do numerador é menor que o do denominador, logo o limite é
.