(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Limites no infinito)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x^{3}-2 x+1}{6 x^{3}+7}, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-5 x}{x^{3}+3}

Passo 1

O enunciado pede que se calculem dois limites no infinito e que se justifiquem os passos. Os limites são:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{3}-2x+1}{6x^{3}+7}.
  • \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{3}+3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Ambos são quocientes de polinômios (funções racionais).
  • O primeiro limite tem a variável tendendo para +\infty.
  • O segundo limite tem a variável tendendo para -\infty.

Passo 2

Estratégia e ideias que vamos usar (explicação didática):
  • Quando lidamos com um quociente de polinômios, o comportamento para x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau (os termos de maior potência).
  • Uma técnica prática e segura é dividir numerador e denominador pelo maior potência de x que aparece (o grau máximo entre numerador e denominador). Isso transforma cada termo em algo como constante, 1/x, 1/x^2, etc.; esses últimos tendem a 0 quando x\to\pm\infty.
  • Consequências úteis:
    • Se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
    • Se o grau do numerador é menor, o limite é 0.
    • Se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty (o sinal depende dos sinais dos coeficientes dominantes e do sentido em que x tende).
      Vou aplicar essa técnica em cada limite, mostrando passo a passo por que os termos menores desaparecem.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{3}-2x+1}{6x^{3}+7}.
O maior expoente presente é 3. Divido numerador e denominador por x^{3}:
\frac{4x^{3}-2x+1}{6x^{3}+7} = \frac{x^{3}\left(4-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{x^{3}\left(6+\dfrac{7}{x^{3}}\right)} = \frac{4-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{7}{x^{3}}}.
Agora observo o comportamento dos termos que contêm x no denominador quando x\to+\infty:
\frac{2}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{7}{x^{3}}\to 0.
Portanto, tomando limite em cima:
\lim_{x\to+\infty}\frac{4-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{7}{x^{3}}} = \frac{4-0+0}{6+0}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Logo o primeiro limite vale \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Cálculo do segundo limite
\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{3}+3}.
Aqui o maior expoente envolvido é 3 (aparece no denominador). Divido numerador e denominador por x^{3}:
\frac{2x^{2}-5x}{x^{3}+3} = \frac{x^{3}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}\right)}{x^{3}\left(1+\dfrac{3}{x^{3}}\right)} = \frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{3}}}.
Agora, quando x\to-\infty temos
\frac{2}{x}\to 0,\qquad \frac{5}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{3}{x^{3}}\to 0.
Observação: mesmo que \dfrac{2}{x} tenda a 0 vindo de sinais negativos (porque x é negativo), o valor limite é 0. Assim
\lim_{x\to-\infty}\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{3}}} = \frac{0-0}{1+0}=0.
Intuição: o denominador cresce como x^{3} (muito mais rápido em módulo do que o numerador que cresce como x^{2}), então o quociente tende a 0.

Passo 5

Resumo rápido dos resultados obtidos:
  • Primeiro limite: os termos de grau menor desaparecem ao dividir por x^{3} e o limite fica igual à razão dos coeficientes dos termos de grau 3.
  • Segundo limite: grau do numerador é menor que o do denominador, logo o limite é 0.

Resposta

\dfrac{2}{3}
0

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