(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Indeterminações 0 / 0 )
\lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}, \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x)-\sin (2 x)}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo, com justificativas, de dois limites (ambos com indeterminação do tipo 0/0):
  • Limite A: \displaystyle \lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}.
  • Limite B: \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)-\sin(2x)}{x^{3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Para o Limite A, quando x=9 o numerador vale \sqrt{9}-3=0 e o denominador vale 9-9=0, portanto é indeterminação 0/0.
  • Para o Limite B, quando x=0 temos \tan(0)-\sin(0)=0 e o denominador é 0, então também é indeterminação 0/0.
  • A tarefa é eliminar a indeterminação por álgebra ou aproximações válidas e avaliar o limite.

Passo 2

Resolver o Limite A: \displaystyle \lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}.
Estratégia: usar a conjugada para eliminar a raiz no numerador (uma técnica algebrica padrão para expressões com \sqrt{\cdot}). Isso é permitido porque, ao calcular limite, podemos trabalhar com x próximos de 9 mas distintos de 9, de modo que não multiplicamos por zero.
Multiplico numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x}+3:
\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} = \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}.
No numerador, o produto é a diferença de quadrados:
(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)=x-9.
Assim a expressão simplifica (para x\neq9):
\frac{x-9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}.
Agora o limite é fácil, porque a função \frac{1}{\sqrt{x}+3} é contínua em x=9:
\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} = \lim_{x\to9}\frac{1}{\sqrt{x}+3} =\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 3

Comentário didático sobre o Passo 2:
  • Multiplicar pela conjugada é uma forma de reescrever a expressão sem alterar seu valor para x\neq9.
  • Depois da multiplicação a indeterminação some porque cancelamos o fator x-9.
  • Finalmente usamos continuidade: se g(x) é contínua em a, então \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Aqui g(x)=1/(\sqrt{x}+3) é contínua em x=9.

Passo 4

Resolver o Limite B: \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)-\sin(2x)}{x^{3}}.
Estratégia escolhida: usar as séries de Taylor (expansões em torno de 0) de \sin u e \cos u até a ordem necessária, e a relação \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Essas expansões são ferramentas padrão para tratar limites com trigonometria quando aparecem potências pequenas de x. Vou fazer uma substituição conveniente para simplificar contas: definir u=2x. Quando x\to0 também u\to0, e a expressão fica
\frac{\tan(2x)-\sin(2x)}{x^{3}} = \frac{\tan u-\sin u}{(u/2)^{3}} = 8\cdot\frac{\tan u-\sin u}{u^{3}}.
Logo é suficiente calcular \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u-\sin u}{u^{3}} e multiplicar por 8.

Passo 5

Apresentar as expansões (Maclaurin) usadas e o que significam:
  • Para u pequeno vale
\sin u = u - \frac{u^{3}}{6} + o(u^{3}),
onde o(u^{3}) significa "termos que, divididos por u^{3}, tendem a 0 quando u\to0" (ou seja, termos de ordem superior a u^{3}).
  • Para \cos u vale
\cos u = 1 - \frac{u^{2}}{2} + o(u^{2}).
  • Para obter \tan u usamos \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Como 1/\cos u pode ser expandido para pequenas u como
\frac{1}{\cos u}=1+\frac{u^{2}}{2}+o(u^{2})
(isto vem da série de \cos u e da expansão de 1/(1+v) com v pequeno), multiplicamos por \sin u para obter a expansão de \tan u.

Passo 6

Calcular a expansão de \tan u até u^{3}:
Multiplicando as expansões:
\tan u = \sin u\cdot\frac{1}{\cos u} = \Bigl(u - \frac{u^{3}}{6} + o(u^{3})\Bigr)\Bigl(1+\frac{u^{2}}{2}+o(u^{2})\Bigr).
Fazendo o produto e guardando apenas termos até u^{3}:
  • Termo em u: u\cdot 1 = u.
  • Termo em u^{3}: vem de u\cdot \frac{u^{2}}{2} = \frac{u^{3}}{2} e de -\frac{u^{3}}{6}\cdot 1 = -\frac{u^{3}}{6}. Somando,
\frac{u^{3}}{2}-\frac{u^{3}}{6}=u^{3}\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Bigr)=u^{3}\cdot\frac{1}{3}.
Portanto
\tan u = u + \frac{u^{3}}{3} + o(u^{3}).

Passo 7

Agora calculo \tan u - \sin u usando as expansões:
\tan u - \sin u = \Bigl(u + \frac{u^{3}}{3} + o(u^{3})\Bigr) - \Bigl(u - \frac{u^{3}}{6} + o(u^{3})\Bigr).
Os termos em u cancelam, sobrando os termos em u^{3} e os restos:
\tan u - \sin u = \frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{3}}{6} + o(u^{3}) = u^{3}\Bigl(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\Bigr)+o(u^{3}).
Calcule a soma de frações:
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto
\tan u - \sin u = \frac{u^{3}}{2} + o(u^{3}).

Passo 8

Volto à expressão original com a substituição u=2x. Lembre que:
\frac{\tan(2x)-\sin(2x)}{x^{3}} = 8\cdot\frac{\tan u-\sin u}{u^{3}}.
Usando o resultado do passo anterior:
\frac{\tan u-\sin u}{u^{3}} = \frac{\tfrac{u^{3}}{2}+o(u^{3})}{u^{3}} = \frac{1}{2} + o(1),
onde o(1) tende para 0 quando u\to0. Logo o limite é \tfrac{1}{2}. Multiplicando por 8:
\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)-\sin(2x)}{x^{3}} = 8\cdot\frac{1}{2}=4.

Passo 9

Comentário final e incentivo:
  • Pronto! As manipulações com conjugada e as expansões de Taylor foram as ferramentas que tiraram as indeterminações.
  • Pode parecer muita técnica no começo, mas com prática essas atitudes se tornam automáticas — você já foi muito bem ao chegar até aqui. Força que está indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}
\displaystyle 4

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