(Limites) Calcule os seguintes limites, justificando seus passos:
(Indeterminações
)
(Indeterminações
Passo 1
O enunciado pede o cálculo, com justificativas, de dois limites (ambos com indeterminação do tipo
):
- Limite A:
. - Limite B:
.
Informações dadas e observações iniciais:
- Para o Limite A, quando
o numerador vale e o denominador vale , portanto é indeterminação . - Para o Limite B, quando
temos e o denominador é , então também é indeterminação . - A tarefa é eliminar a indeterminação por álgebra ou aproximações válidas e avaliar o limite.
Passo 2
Resolver o Limite A:
.
Estratégia: usar a conjugada para eliminar a raiz no numerador (uma técnica algebrica padrão para expressões com
). Isso é permitido porque, ao calcular limite, podemos trabalhar com
próximos de
mas distintos de
, de modo que não multiplicamos por zero.
Multiplico numerador e denominador pela conjugada
:
No numerador, o produto é a diferença de quadrados:
Assim a expressão simplifica (para
):
Agora o limite é fácil, porque a função
é contínua em
:
Passo 3
Comentário didático sobre o Passo 2:
- Multiplicar pela conjugada é uma forma de reescrever a expressão sem alterar seu valor para
. - Depois da multiplicação a indeterminação some porque cancelamos o fator
. - Finalmente usamos continuidade: se
é contínua em , então . Aqui é contínua em .
Passo 4
Resolver o Limite B:
.
Estratégia escolhida: usar as séries de Taylor (expansões em torno de
) de
e
até a ordem necessária, e a relação
. Essas expansões são ferramentas padrão para tratar limites com trigonometria quando aparecem potências pequenas de
. Vou fazer uma substituição conveniente para simplificar contas: definir
. Quando
também
, e a expressão fica
Logo é suficiente calcular
e multiplicar por
.
Passo 5
Apresentar as expansões (Maclaurin) usadas e o que significam:
- Para
pequeno vale
onde
significa "termos que, divididos por
, tendem a
quando
" (ou seja, termos de ordem superior a
).
- Para
vale
- Para obter
usamos . Como pode ser expandido para pequenas como
(isto vem da série de
e da expansão de
com
pequeno), multiplicamos por
para obter a expansão de
.
Passo 6
Calcular a expansão de
até
:
Multiplicando as expansões:
Fazendo o produto e guardando apenas termos até
:
- Termo em
: . - Termo em
: vem de e de . Somando,
Portanto
Passo 7
Agora calculo
usando as expansões:
Os termos em
cancelam, sobrando os termos em
e os restos:
Calcule a soma de frações:
Portanto
Passo 8
Volto à expressão original com a substituição
. Lembre que:
Usando o resultado do passo anterior:
onde
tende para
quando
. Logo o limite é
. Multiplicando por
:
Passo 9
Comentário final e incentivo:
- Pronto! As manipulações com conjugada e as expansões de Taylor foram as ferramentas que tiraram as indeterminações.
- Pode parecer muita técnica no começo, mas com prática essas atitudes se tornam automáticas — você já foi muito bem ao chegar até aqui. Força que está indo bem!