(Continuidade) Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados:
f(x)= \begin{cases}x^{2}-5 x+6, & x<2, \\\\ 3 x-2, & x \geq 2\end{cases}
Verifique a continuidade em x=2.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}-5 x+6, & x<2, \\[4pt] 3 x-2, & x \geq 2,\end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=2.
Informações relevantes que temos:
  • Para x<2 a expressão é \;x^{2}-5x+6.
  • Para x\ge 2 a expressão é \;3x-2.
  • O ponto a analisar é x=2.
  • Em particular, o valor da função em x=2 é dado pela segunda regra (porque \,2\ge 2), ou seja, f(2)=3\cdot 2-2.]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (a mini-aula): uma função f é contínua em um ponto x=a se e somente se os três valores a seguir existirem e forem iguais:
  1. o limite à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x);
  2. o limite à direita \lim_{x\to a^+} f(x);
  3. o valor da função f(a).
Em palavras: isso significa que, ao nos aproximarmos de a tanto por valores menores quanto por valores maiores, o valor de f(x) se aproxima do mesmo número, que tem de ser justamente f(a). Se algum desses não existir ou se forem diferentes, f é descontínua em a.
Observação útil: funções polinomiais e funções lineares são contínuas em todo ponto; portanto, para avaliar limites laterais de expressões polinomiais ou lineares, basta substituir x=a.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda em x=2, isto é \lim_{x\to 2^-} f(x).
Para x<2 usamos a expressão polinomial \;x^{2}-5x+6. Como polinômios são contínuos, basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} (x^{2}-5x+6) = 2^{2}-5\cdot 2+6.
Agora calculamos passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 5\cdot 2=10,
logo
4-10+6 = 0.
Portanto
\lim_{x\to 2^-} f(x)=0.

Passo 4

Calcular o limite à direita em x=2, isto é \lim_{x\to 2^+} f(x).
Para x\ge 2 a expressão é linear \;3x-2. Como funções lineares são contínuas, substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} (3x-2) = 3\cdot 2 - 2.
Calculando:
3\cdot 2 = 6,\qquad 6-2 = 4.
Portanto
\lim_{x\to 2^+} f(x)=4.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=2.
Como o enunciado dá a regra para x\ge 2 como 3x-2, temos
f(2)=3\cdot 2-2 = 4.
Observação: aqui foi usada a informação do enunciado de que a segunda expressão vale em x=2.

Passo 6

Comparar os limites laterais e o valor da função:
  • \lim_{x\to 2^-} f(x)=0.
  • \lim_{x\to 2^+} f(x)=4.
  • f(2)=4.
Para que f fosse contínua em x=2 seria necessário que \lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2). Aqui os limites laterais são diferentes ( 0\neq 4), portanto o limite \lim_{x\to 2} f(x) não existe e f NÃO é contínua em x=2.

Passo 7

Classificação da descontinuidade e comentário prático (mini-aula):
  • Quando os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes entre si, diz-se que há uma descontinuidade do tipo salto (ou descontinuidade por salto). É o caso aqui ( 0 e 4).
  • Observação sobre “consertar” a função: como os limites laterais são diferentes, não existe nenhum valor único L que, se atribuíssemos f(2):=L, tornaria a função contínua em 2. Em outras palavras, a descontinuidade não pode ser removida apenas redefinindo f(2) — trata-se de um salto.
Força aí — você já fez o mais importante: calcular limites laterais e comparar com o valor da função. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova.

Resposta

A função f não é contínua em x=2. Há uma descontinuidade do tipo salto, com \lim_{x\to 2^-} f(x)=0, \lim_{x\to 2^+} f(x)=4 e f(2)=4.

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