Mostre, pela definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} x^{4}=a^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, pela definição \epsilon- \delta de limite, que
\lim_{x\to a} x^4 = a^4.
O conteúdo envolve a definição de limite de função em um ponto e a fatoração da diferença de potências.

Passo 2

Pela definição, precisamos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x - a|<\delta, então
|x^4 - a^4| < \varepsilon.
Começamos fatorando a diferença de quartas potências:
x^4 - a^4 = (x - a)\,(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3),
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|x^4 - a^4| = |x - a|\;\bigl|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3\bigr|.

Passo 3

Para controlar o segundo fator, fixamos inicialmente \delta_1 = 1. Se |x - a|<1, então
|x| = |x - a + a| \le |x - a| + |a| < 1 + |a|.
Assim
\bigl|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3\bigr| \le |x|^3 + |x|^2|a| + |x|\,|a|^2 + |a|^3 \le (|a|+1)^3 + (|a|+1)^2|a| + (|a|+1)|a|^2 + |a|^3.
Defina
M = (|a|+1)^3 + (|a|+1)^2|a| + (|a|+1)|a|^2 + |a|^3,
que é uma constante dependendo de a. Então, sempre que |x - a|<1, temos
\bigl|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3\bigr|\le M.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolha
\delta = \min\Bigl\{1,\,\frac{\varepsilon}{M}\Bigr\}.
Se 0<|x - a|<\delta, então em particular |x - a|<1 e por isso \bigl|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3\bigr|\le M. Daí
|x^4 - a^4| = |x - a|\;\bigl|x^3 + x^2a + xa^2 + a^3\bigr| < \delta \,M \le \frac{\varepsilon}{M}\,M = \varepsilon.

Resposta

Pela definição \epsilon- \delta, concluímos que
\lim_{x\to a} x^4 = a^4.

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