Use as definiçöes de limites à direita e à esquerda para provar as afirmaçöes sobre limites feitas nos exercicios 79 e 80 .
\lim _{x \rightarrow r^{2}} \frac{x-2}{|x-2|}=1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando definição ε–δ, que se r^2>2 então
\lim_{x\to r^2}\frac{x-2}{\lvert x-2\rvert}=1.
O conteúdo aqui é “limite por ε–δ” aplicado a uma função que se simplifica numa vizinhança de r^2 porque o sinal de x-2 fica fixo.

Passo 2

Como estamos assumindo r^2>2, defina
\delta_0 = r^2 - 2,
que é positivo. Se x satisfaz
|x - r^2| < \delta_0,
então necessariamente
x > r^2 - \delta_0 = 2.
Logo, toda vez que 0<|x-r^2|<\delta_0 temos x>2.

Passo 3

Se x>2, então \lvert x-2\rvert = x-2. Portanto, para todo x\neq r^2 suficientemente próximo de r^2 temos
\frac{x-2}{\lvert x-2\rvert} =\frac{x-2}{x-2}=1.

Passo 4

Para mostrar o limite, seja dado um \varepsilon>0. Escolha
\delta = \delta_0 = r^2 - 2.
Então, sempre que
0<|x - r^2|<\delta,
sabemos que x>2 e assim
\left|\frac{x-2}{\lvert x-2\rvert} - 1\right| =|1-1|=0<\varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

\lim_{x\to r^2}\frac{x-2}{\lvert x-2\rvert}=1.

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