Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
g(x)=\frac{10 x{3}+x{4}+31}{x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede os limites de
g(x)=\frac{10x^{3}+x^{4}+31}{x^{6}}
quando (a) x\to\infty e (b) x\to-\infty.
O conteúdo é cálculo de limites de funções racionais em infinitos, que resolvemos dividindo numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^{6} (supondo x\neq0), temos
g(x) =\frac{10x^{3}}{x^{6}}+\frac{x^{4}}{x^{6}}+\frac{31}{x^{6}} =\frac{10}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{31}{x^{6}}.

Passo 3

Para x\to\infty, cada termo \tfrac{10}{x^{3}}, \tfrac{1}{x^{2}} e \tfrac{31}{x^{6}} tende a zero, pois para qualquer n>0 vale
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{n}}=0.
Logo
\lim_{x\to\infty}g(x)=0.

Passo 4

Para x\to-\infty, a mesma propriedade vale: \tfrac{1}{x^{n}}\to0 para n>0. Assim
\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.

Resposta

(a) \displaystyle 0
(b) \displaystyle 0

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