Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
h(x)=\frac{9 x^{4}+x}{2 x^{4}+5 x^{2}-x+6}

Passo 1

O enunciado pede os limites da função racional
h(x)=\frac{9x^{4}+x}{2x^{4}+5x^{2}-x+6}
quando (a) x\to\infty e (b) x\to-\infty. O conteúdo aqui é o cálculo de limites no infinito de funções racionais, usando o fato de que, se o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar o comportamento no infinito, dividimos numerador e denominador por x^{4}. Assim,
h(x) =\frac{9+\frac{1}{x^{3}}}{2+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{6}{x^{4}}}.
Como x\to\pm\infty, todos os termos do tipo \tfrac{1}{x^{n}} tendem a zero, restando apenas a razão dos coeficientes 9 e 2.

Passo 3

Para x\to\infty, de fato \tfrac{1}{x^{n}}\to0, então
\lim_{x\to\infty}h(x)=\frac{9}{2}.

Passo 4

Para x\to-\infty, o mesmo raciocínio vale: \tfrac{1}{x^{n}}\to0 mesmo quando x é negativo (graus pares no termo principal garantem que não há mudança de sinal importante). Logo,
\lim_{x\to-\infty}h(x)=\frac{9}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{9}{2}
(b) \displaystyle \frac{9}{2}

Exercícios relacionados