Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
h(x)=\frac{-x{4}}{x{4}-7 x^{3}+7 x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede os limites da função racional
h(x)=\frac{-x^{4}}{x^{4}-7x^{3}+7x^{2}+9}
quando (a) x\to\infty e (b) x\to -\infty. Aqui o conteúdo é “limites de funções racionais” e a ideia principal é comparar o grau do numerador com o do denominador, extraindo o fator dominante.

Passo 2

Como o numerador e o denominador têm grau 4, fatoramos x^{4} em ambos:
h(x) =\frac{-x^{4}}{x^{4}-7x^{3}+7x^{2}+9} =\frac{-x^{4}}{x^{4}\bigl(1-\tfrac{7}{x}+\tfrac{7}{x^{2}}+\tfrac{9}{x^{4}}\bigr)} =-\frac{x^{4}}{x^{4}}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{7}{x}+\tfrac{7}{x^{2}}+\tfrac{9}{x^{4}}} =-\frac{1}{1-\tfrac{7}{x}+\tfrac{7}{x^{2}}+\tfrac{9}{x^{4}}}.

Passo 3

Para x\to\infty, os termos \tfrac{7}{x}, \tfrac{7}{x^{2}} e \tfrac{9}{x^{4}} tendem a zero. Logo
\lim_{x\to\infty}h(x) =-\frac{1}{1-0+0+0} =-1.

Passo 4

Para x\to -\infty, como x^{4} é positivo e os termos \tfrac{7}{x},\tfrac{7}{x^{2}},\tfrac{9}{x^{4}} também vão a zero, o mesmo raciocínio vale:
\lim_{x\to -\infty}h(x) =-\frac{1}{1-0+0+0} =-1.

Resposta

(a) -1
(b) -1

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