Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
h(x)=\frac{-2 x^{3}-2 x+3}{3 x^{3}+3 x^{2}-5 x}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
h(x)=\frac{-2x^{3}-2x+3}{3x^{3}+3x^{2}-5x}
e pede os limites quando (a) x\to\infty e (b) x\to -\infty.
O conteúdo aqui é “limites de funções racionais no infinito”, e vamos usar a técnica de fatorar a maior potência de x no numerador e no denominador.

Passo 2

Fatoramos x^{3} em cima e embaixo para evidenciar os termos que tendem a zero:
h(x) = \frac{x^{3}\Bigl(-2 - \tfrac{2}{x^{2}} + \tfrac{3}{x^{3}}\Bigr)}% {x^{3}\Bigl(3 + \tfrac{3}{x} - \tfrac{5}{x^{2}}\Bigr)}.

Passo 3

Cancelamos x^{3} (para x\neq0) e escrevemos
h(x) = \frac{-2 - \tfrac{2}{x^{2}} + \tfrac{3}{x^{3}}}{3 + \tfrac{3}{x} - \tfrac{5}{x^{2}}}.

Passo 4

Analisando x\to\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0, \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x^{3}}\to0.
Logo
\lim_{x\to\infty}h(x) = \frac{-2 - 0 + 0}{3 + 0 - 0} = -\frac{2}{3}.

Passo 5

Para x\to -\infty o raciocínio é o mesmo: \tfrac{1}{x}, \tfrac{1}{x^{2}} e \tfrac{1}{x^{3}} também tendem a zero, independentemente do sinal de x.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}h(x) = -\frac{2}{3}.

Resposta

(a) -\tfrac{2}{3}
(b) -\tfrac{2}{3}

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