Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-x+3}{x^{3}-8 x+5}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites de
\frac{2x^2 - x + 3}{x^3 - 8x + 5}
quando x \to +\infty e quando x \to -\infty. Isso envolve o estudo de limites de funções racionais no infinito, usando o grau dos polinômios para decidir qual termo domina.

Passo 2

Para x \to +\infty, dividimos numerador e denominador por x^3, que é o maior grau presente no denominador:
\frac{2x^2 - x + 3}{x^3 - 8x + 5} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}}{1 - \frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}.
À medida que x \to +\infty, os termos \tfrac{2}{x}, \tfrac{1}{x^2} e \tfrac{3}{x^3} tendem a 0, e no denominador \tfrac{8}{x^2} e \tfrac{5}{x^3} também tendem a 0, sobrando
\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 0.

Passo 3

Para x \to -\infty, o mesmo procedimento vale: cada termo da forma \tfrac{k}{x^n} com n>0 tende a 0 quando |x|\to\infty, independentemente do sinal de x. Logo, o quociente também se reduz a
\frac{0}{1} = 0.

Resposta

Para x \to +\infty e para x \to -\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2 - x + 3}{x^3 - 8x + 5} = 0.

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