Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
O conteúdo é limite em x\to\pm\infty envolvendo raiz quadrada de x^{2}. Vamos usar fatoração da raiz e a relação com o valor absoluto.

Passo 2

Observamos que
\sqrt{x^{2}+1} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}.
Como x\to -\infty, temos x<0 e, portanto, |x|=-x. Substituindo na fração,
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x}{-x\,\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} = -\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.

Passo 3

Quando x\to -\infty, a quantidade \tfrac{1}{x^{2}} tende a 0, logo
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\;\longrightarrow\;\sqrt{1+0}=1
e
-\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}\;\longrightarrow\;-1.

Resposta

-1

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