Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{2 x^{2}+3}}{4 x+2}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{4x+2}.
Esse é um problema de limites no infinito envolvendo raiz quadrada e polinômio. Vamos usar fatoração dos termos de maior grau e a propriedade \sqrt{x^2}=|x|.

Passo 2

Extraímos x^2 de dentro da raiz para identificar o comportamento dominante:
\sqrt{2x^2+3} = |x|\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Além disso, fatoramos x no denominador:
4x+2 = x\Bigl(4+\frac{2}{x}\Bigr).
Logo,
\frac{\sqrt{2x^2+3}}{4x+2} = \frac{-x\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}}{x\bigl(4+\frac{2}{x}\bigr)} = -\frac{\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}}{4+\frac{2}{x}}.

Passo 4

Tomando o limite x\to -\infty, os termos \tfrac{3}{x^2} e \tfrac{2}{x} tendem a zero. Assim,
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}}{4+\frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.
Considerando o sinal negativo à frente, concluímos que
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{2x^2+3}}{4x+2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}

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