Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to\infty da expressão \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}. O conteúdo aqui é cálculo de limites no infinito e, ao fazermos a substituição direta, obtemos uma indeterminação do tipo \infty-\infty. Para resolver, vamos usar o truque de racionalização com o conjugado das raízes.

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada
\sqrt{x^{2}+1}\sim x,\quad \sqrt{x^{2}-1}\sim x \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\sim x - x = 0,
mas não podemos concluir sem manipular a expressão. Por isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado.

Passo 3

Multiplicando por \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1} temos
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)}% {\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Para avaliar o limite, note que
\sqrt{x^{2}\pm1}=x\sqrt{1\pm\frac{1}{x^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1} =x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr).
Quando x\to\infty, os radicais tendem a 1, então
\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\;\longrightarrow\;2,
e a expressão vira
\frac{2}{x\cdot2}=\frac{1}{x}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

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