Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x +infty(x^2+1)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(x^2+1r)^1x
usando a regra de L’Hospital. Aqui enfrentamos uma indeterminação do tipo 1^0, então vamos aplicar o truque de tomar logaritmo para transformar em uma forma inftyinfty ou 00.

Passo 2

Definimos
y = l(x^2+1r)^1x
Tomando logaritmo natural, obtemos
ln y = 1x,lnl(x^2+1r)

Passo 3

Precisamos calcular
limxto+inftyln y = limxto+inftyln(x^2+1)x
Para xto+infty, temos ln(x^2+1)to+infty e xto+infty, dando indeterminação inftyinfty.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
limxto+inftyln(x^2+1)x = limxto+inftyddxl[ln(x^2+1)r]ddx[x] = limxto+infty2xx^2+11 = limxto+infty2xx^2+1

Passo 5

Para xto+infty,
2xx^2+1 = 2x + tfrac1x longrightarrow 0
Logo limxto+inftyln y = 0.

Passo 6

Voltando de ln y para y, temos
limxto+inftyy = limxto+inftye^ln y = e^0 = 1

Resposta

1

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