Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-5 x+1}{3 x+7}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-5x+1}{3x+7}.
O conteúdo é cálculo de limites no infinito para funções racionais, e vamos usar a comparação de graus de polinômios ou a divisão por x para simplificar.

Passo 2

Para uma função racional
\frac{P(x)}{Q(x)},
se o grau de P for maior que o de Q, o valor tende a \pm\infty conforme o sinal do termo de maior grau. Uma forma prática é dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x:
\frac{x^{2}-5x+1}{3x+7} = \frac{x\bigl(x-5+1/x\bigr)}{x\bigl(3+7/x\bigr)} = \frac{x-5+1/x}{3+7/x}.

Passo 4

Quando x\to\infty temos \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{7}{x}\to0, então
\frac{x-5+1/x}{3+7/x} \sim \frac{x}{3}
e cresce sem limite, indo para +\infty.

Resposta

+\infty

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