Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x(x+a)}-x)\

Passo 1

O enunciado pede os limites da função
f(x)=\sqrt{x(x+a)}-x
quando x\to+\infty e quando x\to-\infty. O conteúdo é “limites ao infinito de funções com radical”, e a técnica será a racionalização e o cuidado com o sinal de x dentro da raiz.

Passo 2

Para x\to+\infty, note que x>0 e podemos escrever
f(x) =\sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)}-x =x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}-1\Bigr).
Racionalizando o parêntese:
\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}-1 =\frac{\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)-1}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1} =\frac{\tfrac{a}{x}}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1}.
Logo
f(x) =x\cdot\frac{\tfrac{a}{x}}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1} =\frac{a}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1}.
Fazendo x\to+\infty, tem-se \sqrt{1+\tfrac{a}{x}}\to1, portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{a}{1+1} =\frac{a}{2}.

Passo 3

Para x\to-\infty, temos x<0 e
\sqrt{x(x+a)} =\sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)} =|x|\sqrt{1+\tfrac{a}{x}} =-x\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}.
Então
f(x) =-x\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}-x =-x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1\bigr).
À medida que x\to-\infty, o fator -x\to+\infty e \sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+1\to2. Logo
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x(x+a)}-x\bigr)=\frac{a}{2}, \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{x(x+a)}-x\bigr)=+\infty.

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