Linearize as equações a seguir em torno do ponto de equilíbrio \bar{u}=0 e \bar{y}=0.
\ddot{y}(t)=2 y(t)-\dot{y}(t)+\operatorname{sen} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para linearizar em torno do ponto de equilíbrio \bar u=0, \bar y=0 a equação
\ddot y(t) = 2\,y(t) - \dot y(t) + \sin u(t).
O conteúdo aqui é expansão de Taylor em volta de um ponto de operação.

Passo 2

Verificamos que em \bar y=0, \dot{\bar y}=0, \ddot{\bar y}=0 e \bar u=0 a equação é satisfeita, pois
0 = 2\cdot 0 - 0 + \sin(0) = 0.
Assim, não há termo de deslocamento constante a ser compensado.

Passo 3

Definimos as variações
y(t) = \bar y + \delta y(t) = \delta y(t), \qquad u(t) = \bar u + \delta u(t) = \delta u(t).
Expandimos \sin u em torno de u=0 por Taylor de primeira ordem:
\sin u \approx \sin(0) + \cos(0)\,\delta u = 0 + 1\cdot \delta u = \delta u.

Passo 4

Substituindo na equação original e descartando termos de ordem superior a \delta, obtemos
\delta \ddot y = 2\,\delta y - \delta \dot y + \delta u.

Passo 5

Como a notação em variações já indica pequeno desvio, podemos renomear \delta y\to y e \delta u\to u. A equação linearizada final fica
\ddot y = 2\,y - \dot y + u.

Resposta

\boxed{\ddot y = 2\,y - \dot y + u.}

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