Linearize as equações a seguir em torno do ponto de equilíbrio \bar{u}=0 e \bar{y}=0.
\ddot{y}(t)=2 y(t)-\dot{y}^{2}(t)+\operatorname{sen} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a linearização da equação não-linear
\ddot{y}(t) \;=\; 2\,y(t)\;-\;\dot{y}^{2}(t)\;+\;\operatorname{sen} u(t)
em torno do ponto de equilíbrio \bar u=0, \bar y=0.
O conteúdo usado será a expansão de Taylor de primeira ordem (linearização) de uma função f(y,\dot y,u) ao redor de (0,0,0).

Passo 2

Definimos a parte direita como
f\bigl(y,\dot y,u\bigr) \;=\;2\,y \;-\;\dot y^{2}\;+\;\operatorname{sen} u.
Na linearização, escrevemos
y(t)=\bar y+\delta y(t),\quad \dot y(t)=\bar{\dot y}+\delta\dot y(t),\quad u(t)=\bar u+\delta u(t),
com \bar y=\bar{\dot y}=\bar u=0. O termo constante é
f(0,0,0)=2\cdot0-0+\sen0=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em (y,\dot y,u)=(0,0,0):
\frac{\partial f}{\partial y} =2,\quad \frac{\partial f}{\partial \dot y} =-2\,\dot y\;\Big|_{\dot y=0}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial u} =\cos u\;\Big|_{u=0}=1.

Passo 4

A aproximação linear de f é
\delta\ddot y \approx \frac{\partial f}{\partial y}\,\delta y +\frac{\partial f}{\partial \dot y}\,\delta\dot y +\frac{\partial f}{\partial u}\,\delta u =2\,\delta y+0\cdot\delta\dot y+1\cdot\delta u.
Renomeando \delta y\to y e \delta u\to u, obtemos o modelo linear:

Resposta

\ddot y(t)=2\,y(t)+u(t).

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