Linearize as equações a seguir em torno do ponto de equilíbrio \bar{u}=0 e \bar{y}=0.
\ddot{y}(t)=-y(t)-\dot{y}^{2}(t)+u(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação não linear
\ddot y(t) = -\,y(t)\;-\;\dot y^2(t)\;+\;u(t)
e pede para linearizá-la em torno do ponto de equilíbrio \bar u=0, \bar y=0. O conteúdo aqui é linearização de sistemas não lineares usando expansão de Taylor de primeira ordem, e vamos precisar calcular derivadas parciais da função de dinâmica.

Passo 2

Escrevemos a dinâmica no formato
\ddot y = f\bigl(y,\dot y,u\bigr),
onde
f\bigl(y,\dot y,u\bigr) = -\,y \;-\;\dot y^{2} \;+\;u.
A variação linearizada satisfaz
\delta \ddot y = \frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{\text{eq}}\,\delta y + \frac{\partial f}{\partial \dot y}\Big|_{\text{eq}}\,\delta\dot y + \frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{\text{eq}}\,\delta u.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial f}{\partial \dot y} = -2\,\dot y, \qquad \frac{\partial f}{\partial u} = 1.

Passo 4

Avaliamo-las no ponto de equilíbrio \bar y=0, \dot{\bar y}=0, \bar u=0:
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{\text{eq}} = -1, \quad \frac{\partial f}{\partial \dot y}\Big|_{\text{eq}} = -2\cdot 0 = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{\text{eq}} = 1.
Logo, a variação linearizada é
\delta \ddot y = -\,\delta y \;+\;\delta u.

Passo 5

Opcionalmente, em forma de variáveis de estado x_{1} = y, x_{2} = \dot y, temos
\begin{cases} \delta \dot x_{1} = \delta x_{2},\\\ \delta \dot x_{2} = -\,\delta x_{1} + \delta u. \end{cases}

Resposta

A equação linearizada é
\delta \ddot y(t) + \delta y(t) = \delta u(t).

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