Obtenha a Transformada Inversa de Laplace para as equações abaixo. Sugestão: Confira seus resultados utilizando a função residue do Matlab ou funções similares de outros pacotes computacionais.
G(s)=\frac{5(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s)=\frac{5(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e uso das propriedades básicas
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{5(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+1)(s+3) obtemos
5(s+2)=A\,s\,(s+1)(s+3)+B\,(s+1)(s+3)+C\,s^{2}(s+3)+D\,s^{2}(s+1).

Passo 3

Para determinar A,B,C,D avaliamos em valores convenientes de s:
s =0:
5\cdot2=10 = B\cdot(1\cdot3)\quad\Rightarrow\quad B=\frac{10}{3}.
s = - 1:
5\cdot1=5 = C\cdot(1\cdot2)\quad\Rightarrow\quad C=\frac{5}{2}.
s = - 3:
5\cdot(-1)=-5 = D\cdot(9\cdot(-2))=-18D\quad\Rightarrow\quad D=\frac{5}{18}.
Para achar A usamos, por exemplo, s=1:
5\cdot3=15 = A\cdot(1\cdot2\cdot4)+B\cdot(2\cdot4)+C\cdot(1\cdot4)+D\cdot(1\cdot2).
Substituindo os valores de B,C,D e resolvendo para A
8A + \frac{80}{3} + 10 + \frac{5}{9} = 15 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{25}{9}.

Passo 4

Cada termo em s corresponde a uma função em t:
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}.
Logo,
g(t) =-\frac{25}{9}\cdot1 +\frac{10}{3}\,t +\frac{5}{2}\,e^{-t} +\frac{5}{18}\,e^{-3t}.

Resposta

g(t)=-\frac{25}{9}+\frac{10}{3}\,t+\frac{5}{2}\,e^{-t}+\frac{5}{18}\,e^{-3t}.

Exercícios relacionados