Lines in the \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}-plane Show that A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)=0 is an equation for the line in the x y-plane through the point \left(x_{0}, y_{0}\right) normal to the vector \mathbf{N}=A \mathbf{i}+B \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta no plano xy que passa por (x_{0},y_{0}) e é normal ao vetor \mathbf{N}=A\mathbf{i}+B\mathbf{j}. Para isso, usamos a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto qualquer sobre a reta. O vetor que liga (x_{0},y_{0}) a (x,y) é
\overrightarrow{P_{0}P}=(x-x_{0})\mathbf{i}+(y-y_{0})\mathbf{j}.
Como a reta é normal a \mathbf{N}, exige-se
\mathbf{N}\cdot\overrightarrow{P_{0}P}=0,
ou seja,
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Resposta

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

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