Directional derivatives and partial derivatives Assuming that the necessary derivatives of f(x, y, z) are defined, how are D_{\mathbf{i}} f, D_{\mathbf{j}} f, and D_{\mathbf{k}} f related to f_{x}, f_{y}, and f_{z} ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar as derivadas direcionais de f(x,y,z) nas direções dos vetores unitários \mathbf{i}, \mathbf{j} e \mathbf{k} com as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Vamos usar a definição de derivada direcional e a propriedade do gradiente.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(a,b,c) é
D_{\mathbf{u}}f(x,y,z) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+ah,y+bh,z+ch)-f(x,y,z)}{h}
e, se f é diferenciável, vale também
D_{\mathbf{u}}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot\mathbf{u}.

Passo 3

O gradiente de f é o vetor
\nabla f(x,y,z) = \bigl(f_x(x,y,z),\,f_y(x,y,z),\,f_z(x,y,z)\bigr),
onde
\displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x},
\displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y} e
\displaystyle f_z=\frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 4

Para \mathbf{u}=\mathbf{i}=(1,0,0) temos
D_{\mathbf{i}}f =\nabla f\cdot(1,0,0) =f_x\cdot1+f_y\cdot0+f_z\cdot0 =f_x.

Passo 5

De modo análogo, para \mathbf{j}=(0,1,0) e \mathbf{k}=(0,0,1) obtemos
D_{\mathbf{j}}f=f_y, \quad D_{\mathbf{k}}f=f_z.

Resposta

D_{\mathbf{i}}f=f_x, D_{\mathbf{j}}f=f_y, D_{\mathbf{k}}f=f_z.

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