Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at
. Then find the derivatives of the functions in these directions.
Passo 1
O enunciado pede as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos de
em
, além das derivadas direcionais nessas direções. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional:
Passo 2
Calcular o gradiente de
Temos
logo
Passo 3
Avaliar o gradiente em
:
O vetor
aponta na direção de maior crescimento.
Passo 4
Encontrar o vetor unitário na direção de
. Primeiro a norma:
Então o vetor unitário de máxima subida é
A direção de máxima descida é
.
Passo 5
Calcular as derivadas direcionais:
Resposta
A direção de crescimento mais rápido em
é
com derivada direcional
A direção de decrescimento mais rápido em
é
com derivada direcional