Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions.
f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}, \quad P_{0}(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos de f em P_{0}, além das derivadas direcionais nessas direções. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf u}f(P_{0}) = \nabla f(P_{0})\cdot \mathbf u,\quad \|\mathbf u\|=1.

Passo 2

Calcular o gradiente de
f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y,
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\nabla f(x,y) = \bigl(2x+y,\;x+2y\bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente em P_{0}=(-1,1):
\nabla f(-1,1)=\bigl(2\cdot(-1)+1,\;(-1)+2\cdot1\bigr)=(-2+1,\;-1+2)=(-1,1).
O vetor \nabla f(-1,1) aponta na direção de maior crescimento.

Passo 4

Encontrar o vetor unitário na direção de \nabla f(-1,1). Primeiro a norma:
\|\nabla f(-1,1)\| = \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Então o vetor unitário de máxima subida é
\mathbf u_{+} = \frac{\nabla f(-1,1)}{\|\nabla f(-1,1)\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,\,1).
A direção de máxima descida é \mathbf u_{-}=-\mathbf u_{+}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-1).

Passo 5

Calcular as derivadas direcionais:
D_{\mathbf u_{+}}f(-1,1) = \nabla f(-1,1)\cdot \mathbf u_{+} = \|\nabla f(-1,1)\| = \sqrt{2},
D_{\mathbf u_{-}}f(-1,1) = \nabla f(-1,1)\cdot \mathbf u_{-} = -\|\nabla f(-1,1)\| = -\sqrt{2}.

Resposta

A direção de crescimento mais rápido em P_{0} é
\mathbf u_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,\,1),
com derivada direcional D_{\mathbf u_{+}}f(-1,1)=\sqrt{2}.
A direção de decrescimento mais rápido em P_{0} é
\mathbf u_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-1),
com derivada direcional D_{\mathbf u_{-}}f(-1,1)=-\sqrt{2}.

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