Uma linha de cargas infindas está colocada no eixo y de um sistema de referência cartesiano. Uma placa condutora, de tamanho praticamente infinito, está colocada ao ar livre em cima do plano x=6[m]. Considerando que a linha está carregada com uma densidade de carga sigma1=10[n C / m] e que o potencial da placa condutora é V=0[V] :
Calcule a densidade de carga sigmas no ponto P(x=6, y=6, z=0) [ m ] da placa condutora.

Passo 1

Beleza, vamos lá. Temos uma linha infinita de carga ao longo do eixo y, com densidade linear de carga σ₁=10 nC/m, e uma placa condutora infinita no plano x=6 m mantida a V=0. O que a gente quer é a densidade de carga superficial σₛ naquele pontinho P(6,6,0) da placa.
Conteúdo: eletrostática básica (campo e potencial de linha de carga) e método de imagens para condutor plano.

Passo 2

Explicando o método de imagens: para “enganar” a placa condutora aterrada (V=0 em x=6), a gente substitui o condutor por uma carga imagem. A linha real (σ₁) está em x=0; colocamos uma linha imagem em x=12 com densidade −σ₁. A soma das potencias das duas linhas faz V=0 no plano x=6.

Passo 3

Agora o campo no ponto P, que fica em x=6 (e z=0). O campo de uma linha infinita de densidade λ a distância r é
E = |lambda|2pivarepsilon0,r
em direção radial.
– Distância da linha real (x=0) até P: r₁=6 m, e a carga é positiva, então E₁ aponta pra +x.
– Distância da linha imagem (x=12) até P: r₂=|12–6|=6 m, e a carga é negativa, então E₂ também aponta pra +x (atrai cargas positivas).
Como ambas têm módulo λ/(2π ε₀·6), o campo total em x<6 é
Ex = E1 + E2 = lambda2pivarepsilon0,6 + lambda2pivarepsilon0,6 = lambdapivarepsilon0,6

Passo 4

Relação entre campo na superfície e carga superficial:
sigmas = varepsilon0,Eperp,rm extcdothat n,
onde \hat n é o normal saindo do condutor (a placa em x=6 tem o “lado de fora” voltado para x<6, logo \hat n = -\hat x). Aqui E_x está apontando pra +x, então
sigmas = varepsilon0,(Ex,hat x)cdot(-hat x) = -,varepsilon0,Ex
Substituindo E_x:
sigmas = -,varepsilon0;lambdapivarepsilon0,6 = -,lambda6pi

Resposta

Como λ=σ₁=10×10⁻⁹ C/m,
boxedsigmas = -,10times10^-96piapprox -5,3times10^-10;C/m^2 (approx -0,53:nC/m^2)

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