Uma linha de cargas infindas está colocada no eixo y de um sistema de referência cartesiano. Uma placa condutora, de tamanho praticamente infinito, está colocada ao ar livre em cima do plano
. Considerando que a linha está carregada com uma densidade de carga
e que o potencial da placa condutora é
:
Calcule a densidade de carga
no ponto
[ m
da placa condutora.
Calcule a densidade de carga
Passo 1
Beleza, vamos lá. Temos uma linha infinita de carga ao longo do eixo y, com densidade linear de carga σ₁=10 nC/m, e uma placa condutora infinita no plano x=6 m mantida a V=0. O que a gente quer é a densidade de carga superficial σₛ naquele pontinho P(6,6,0) da placa.
Conteúdo: eletrostática básica (campo e potencial de linha de carga) e método de imagens para condutor plano.
Conteúdo: eletrostática básica (campo e potencial de linha de carga) e método de imagens para condutor plano.
Passo 2
Explicando o método de imagens: para “enganar” a placa condutora aterrada (V=0 em x=6), a gente substitui o condutor por uma carga imagem. A linha real (σ₁) está em x=0; colocamos uma linha imagem em x=12 com densidade −σ₁. A soma das potencias das duas linhas faz V=0 no plano x=6.
Passo 3
Agora o campo no ponto P, que fica em x=6 (e z=0). O campo de uma linha infinita de densidade λ a distância r é
em direção radial.
– Distância da linha real (x=0) até P: r₁=6 m, e a carga é positiva, então E₁ aponta pra +x.
– Distância da linha imagem (x=12) até P: r₂=|12–6|=6 m, e a carga é negativa, então E₂ também aponta pra +x (atrai cargas positivas).
Como ambas têm módulo λ/(2π ε₀·6), o campo total em x<6 é
– Distância da linha real (x=0) até P: r₁=6 m, e a carga é positiva, então E₁ aponta pra +x.
– Distância da linha imagem (x=12) até P: r₂=|12–6|=6 m, e a carga é negativa, então E₂ também aponta pra +x (atrai cargas positivas).
Como ambas têm módulo λ/(2π ε₀·6), o campo total em x<6 é
Passo 4
Relação entre campo na superfície e carga superficial:
onde \hat n é o normal saindo do condutor (a placa em x=6 tem o “lado de fora” voltado para x<6, logo \hat n = -\hat x). Aqui E_x está apontando pra +x, então
Substituindo E_x:
Resposta
Como λ=σ₁=10×10⁻⁹ C/m,