Uma linha de cargas infindas está colocada no eixo y de um sistema de referência cartesiano. Uma placa condutora, de tamanho praticamente infinito, está colocada ao ar livre em cima do plano x=6[m]. Considerando que a linha está carregada com uma densidade de carga sigma1=10[nC / m] e que o potencial da placa condutora é V=0[V] :
Calcule o potencial elétrico em x=4 [m].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma linha de carga “infinita” colocada no eixo y (ou seja, passando por ) com densidade linear . Paralelamente, lá em tem uma placa condutora infinita mantida em potencial zero ( ). A gente quer achar o potencial elétrico em .
Conteúdo da matéria: eletrostática – potencial de linha de carga infinita e método dos espelhos (imagens).
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do potencial de uma linha de carga infinita.
  2. Método de imagens: substituir a placa condutora por uma “linha-imagem” de carga oposta, de modo que o plano fique equipotencial.

Passo 2

Primeiro, lembra da expressão do potencial de uma linha de carga Vrm linha(r) ;=; lambda2pivarepsilon0,ln!gl(r0rgr),, em função da distância radial :
onde é uma constante de referência (vai cair fora no cálculo de diferença de potencial).

Passo 3

Agora vem o método das imagens: para “zerar” o potencial em V(x) ;=; Vrm real(x) ;+; Vrm ima>=m(x) ;=; lambda2pivarepsilon0ln!gl(r0xgr) ;+;-lambda2pivarepsilon0ln!gl(r0|x-12|gr) , a gente imagina uma linha de carga igual e contrária ( V(x) =lambda2pivarepsilon0,ln!l(12 - xxr) ) situada simetricamente do outro lado do plano, ou seja em .
  • Linha real: em , carga .
  • Linha imagem: em , carga .
Assim, o potencial total em um ponto de abscissa é a soma
Reagrupando e lembrando que a gente quer , acaba que

Passo 4

Basta pôr V(4) =10times10^-92pi,(8,85times10^-12), ln!l(12-44r) =10^-82picdot8,85times10^-12,ln(2) e V(4)approx1,8times10^2times0,693approx1,25times10^2 V :
Calculando numericamente:\

e ,
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Resposta

O potencial elétrico em boxedV(4)approx125 V m vale aproximadamente

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