Uma linha de corrente é aquela traçada no campo de escoamento tal que, a cada instante, é tangente ao vetor velocidade, em cada ponto. Considere um escoamento permanente, bidimensional, no plano xy com campo de velocidade dado por \mathbf{V}=\mathrm{u} \mathrm{i} +vj . Use o produto vetorial, \mathbf{V} \times \mathbf{d S}, onde \mathbf{d S} é um elemento de distância ao longo de uma linha de corrente, para mostrar que dx/u = dy/v para a linha de corrente.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento permanente bidimensional com campo de velocidade
\mathbf{V}=u\,\mathbf{i}+v\,\mathbf{j},
onde u e v são as componentes da velocidade nas direções x e y. Diz que uma linha de corrente é traçada tal que, em cada ponto, um elemento de deslocamento ao longo da linha de corrente, \mathbf{dS}, é tangente ao vetor velocidade naquele ponto. O enunciado pede para usar o produto vetorial \mathbf{V}\times\mathbf{dS} para mostrar que
\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}
para a linha de corrente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Campo de velocidade: \mathbf{V}=u\,\mathbf{i}+v\,\mathbf{j}.
Elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da linha de corrente: \mathbf{dS} (tangente a \mathbf{V} em cada ponto).
Usar \mathbf{V}\times\mathbf{dS} para obter a relação entre dx, dy, u e v.
Objetivo: mostrar que \dfrac{dx}{u}=\dfrac{dy}{v}.
Passo 2
Explicação física e matemática do porquê usar o produto vetorial: o produto vetorial entre dois vetores é um vetor perpendicular ao plano que contém os dois vetores e tem magnitude igual a |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Se dois vetores são paralelos (ou anti-paralelos), então \theta=0 (ou \pi) e o produto vetorial é o vetor nulo.
Numa linha de corrente o elemento \mathbf{dS} é tangente a \mathbf{V}, ou seja, \mathbf{dS} e \mathbf{V} são paralelos. Por isso vale
\mathbf{V}\times\mathbf{dS}=\mathbf{0}.
Vamos usar essa igualdade matemática para chegar à relação desejada.
Passo 3
Escrever explicitamente os vetores com componentes no plano xy. O elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da linha de corrente pode ser escrito como
\mathbf{dS}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}.
Agora calculamos o produto vetorial usando a forma determinantal (embedando em 3D com terceira componente nula):
\mathbf{V}\times\mathbf{dS} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u & v & 0 \\\ dx & dy & 0 \end{vmatrix}.
Passo 4
Avaliar o determinante. O único componente não nulo do produto vetorial será na direção \mathbf{k}. Desenvolvendo o determinante obtemos
Explicando cada termo: a contribuição u\,dy vem do produto da componente u em x pela variação dy em y com o sinal apropriado, e v\,dx é análogo; o \mathbf{k} indica que o vetor resultante está perpendicular ao plano xy.
Passo 5
Impor a condição de linha de corrente: \mathbf{V}\times\mathbf{dS}=\mathbf{0}. Assim
(u\,dy - v\,dx)\,\mathbf{k}=\mathbf{0}.
Como \mathbf{k} é um vetor unitário não nulo, o fator escalar deve ser zero:
u\,dy - v\,dx = 0.
Rearranjando obtemos
u\,dy = v\,dx.
Passo 6
Isolar a relação entre os diferenciais. Dividindo ambos os lados por u\,v (assumindo u e v convenientemente não nulos onde aplicável) temos
\frac{dy}{v}=\frac{dx}{u}.
Outra forma equivalente, muito usada, é escrever a equação das linhas de corrente como derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u},
que é a forma diferencial da condição de tangência: a inclinação da linha de corrente em cada ponto é dada pela razão das componentes da velocidade.
Passo 7
Comentário sobre casos especiais e interpretação física curta: se em algum trecho u=0 e v\neq0, então dx=0 para que \mathbf{dS} seja paralelo a \mathbf{V}, o que corresponde a uma linha de corrente vertical (a razão \dfrac{dy}{dx} tende para infinito, consistente com \dfrac{v}{u}). Se u e v são ambos zero num ponto, a velocidade é nula ali e a linha de corrente local não é bem definida; normalmente exclui-se esses pontos ao escrever \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u}.