O número de Reynolds, importante parâmetro nos fenômenos dos escoamentos viscosos, é definido pela equação
onde
e
são a massa específica e a viscosidade do fluido, e
e
são a velocidade característica e o comprimento, respectivamente. Exprima cada variável em termos das suas dimensões básicas. Mostre que o número de Reynolds é adimensional.
Passo 1
O enunciado fornece a definição do número de Reynolds
e pede duas coisas: (1) expressar cada variável em termos das suas dimensões básicas e (2) mostrar que
é adimensional (ou seja, não tem dimensão).
As informações relevantes dadas são os símbolos ,
,
e
. As dimensões básicas que usaremos são massa, comprimento e tempo, que representarei por
,
e
, respectivamente.
As informações relevantes dadas são os símbolos
Passo 2
Vamos determinar as dimensões de cada variável, explicando passo a passo.
-
Densidade de massa
.
A densidade é massa por volume. Volume tem dimensão, então (Isso dá, por exemplo,em unidades SI.) -
Velocidade
.
Velocidade é comprimento por tempo, então -
Comprimento característico
.
É um comprimento, portanto -
Viscosidade dinâmica
.
Uma maneira didática de obter as dimensões deé usar a relação da lei de Newton para fluidos newtonianos: tensão de cisalhamento . Aqui tem dimensão de pressão (força por área) e tem dimensão de taxa de variação de velocidade em relação ao espaço, isto é, . Como pressão tem dimensão força/área e força tem dimensão , a pressão tem dimensão . Assim (Em unidades SI isso corresponde a.)
Passo 3
Agora substituímos essas dimensões na expressão de
e fazemos as contas de forma explícita para ver as cancelas.
Escrevendo as dimensões do numerador
:
Multiplicando os fatores
e as potências, somam-se os expoentes:
As dimensões do denominador
já obtivemos:
Agora a dimensão de
é a razão:
Ao dividir, subtraem-se os expoentes das mesmas bases; aqui todos os expoentes resultam em zero:
Passo 4
Interpretação final:
é a notação para “sem dimensão” (adimensional). Portanto o número de Reynolds não tem unidades — ele é um número puro que normalmente representa a razão entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento. Dica prática para prova: use sempre a notação entre colchetes
para achar dimensões e cancele expoentes; isso evita erros e é rápido.