O número de Reynolds, importante parâmetro nos fenômenos dos escoamentos viscosos, é definido pela equação R e=\rho v L / \mu onde \rho e \mu são a massa específica e a viscosidade do fluido, e v e L são a velocidade característica e o comprimento, respectivamente. Exprima cada variável em termos das suas dimensões básicas. Mostre que o número de Reynolds é adimensional.

Passo 1

O enunciado fornece a definição do número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,L}{\mu},
e pede duas coisas: (1) expressar cada variável em termos das suas dimensões básicas e (2) mostrar que \mathrm{Re} é adimensional (ou seja, não tem dimensão).
As informações relevantes dadas são os símbolos \rho, v, L e \mu. As dimensões básicas que usaremos são massa, comprimento e tempo, que representarei por \mathrm{M}, \mathrm{L} e \mathrm{T}, respectivamente.

Passo 2

Vamos determinar as dimensões de cada variável, explicando passo a passo.
  • Densidade de massa \rho.
    A densidade é massa por volume. Volume tem dimensão \mathrm{L}^3, então
    [\rho]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3}.
    (Isso dá, por exemplo, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 em unidades SI.)
  • Velocidade v.
    Velocidade é comprimento por tempo, então
    [v]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • Comprimento característico L.
    É um comprimento, portanto
    [L]=\mathrm{L}.
  • Viscosidade dinâmica \mu.
    Uma maneira didática de obter as dimensões de \mu é usar a relação da lei de Newton para fluidos newtonianos: tensão de cisalhamento \tau=\mu\,\dfrac{\partial u}{\partial y}. Aqui \tau tem dimensão de pressão (força por área) e \dfrac{\partial u}{\partial y} tem dimensão de taxa de variação de velocidade em relação ao espaço, isto é, \mathrm{T}^{-1}. Como pressão tem dimensão força/área e força tem dimensão \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}, a pressão tem dimensão \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-2}. Assim
    [\mu]=\frac{[\tau]}{[\partial u/\partial y]}=\frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}^{-1}}=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}.
    (Em unidades SI isso corresponde a \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}=\mathrm{kg}\,/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).)

Passo 3

Agora substituímos essas dimensões na expressão de \mathrm{Re} e fazemos as contas de forma explícita para ver as cancelas.
Escrevendo as dimensões do numerador \rho\,v\,L:
[\rho\,v\,L]=(\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3})\cdot(\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1})\cdot(\mathrm{L})
Multiplicando os fatores \mathrm{L} e as potências, somam-se os expoentes:
[\rho\,v\,L]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3+1+1}\,\mathrm{T}^{-1}=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}.
As dimensões do denominador \mu já obtivemos:
[\mu]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}.
Agora a dimensão de \mathrm{Re} é a razão:
[\mathrm{Re}]=\frac{[\rho\,v\,L]}{[\mu]}=\frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}}.
Ao dividir, subtraem-se os expoentes das mesmas bases; aqui todos os expoentes resultam em zero:
[\mathrm{Re}]=\mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{0}\,\mathrm{T}^{0}.

Passo 4

Interpretação final: \mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{0}\,\mathrm{T}^{0} é a notação para “sem dimensão” (adimensional). Portanto o número de Reynolds não tem unidades — ele é um número puro que normalmente representa a razão entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento. Dica prática para prova: use sempre a notação entre colchetes [\cdot] para achar dimensões e cancele expoentes; isso evita erros e é rápido.

Resposta

[\mathrm{Re}]=\mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{0}\,\mathrm{T}^{0}, portanto \mathrm{Re} é adimensional.

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