Uma linha de densidade de carga \lambda ( d q=\lambda d z ) está a uma distância h de um condutor cilíndrico de raio R. Usando o método das imagens, mostre que o potencial em um ponto fora do cilindro é dado por
V(s, \varphi)=-\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left[\frac{\sqrt{s^{2}+h^{2}-2 h s \cos \varphi}}{\sqrt{s^{2}+\frac{R^{4}}{h^{2}}-2 \frac{R^{2} s}{h} \cos \varphi}}\right] .
(Dica 1: considere uma linha de carga \lambda^{\prime} posicionada dentro do cilindro. Em seguida, use o princípio da superposição e as condições de contorno do problema. Dica 2: Uma vez que o cilindro não está aterrado, considere \partial V /\left.\partial \varphi\right|_{s=R}=0. Qual é o significado desta condição?)
Passo 1
O enunciado dá:
Uma linha de carga infinita com densidade linear \lambda (ou seja, dq=\lambda\,dz) está colocada a uma distância radial \,h do eixo de um cilindro condutor de raio \,R. A linha está deslocada ao longo de uma direção angular que podemos tomar como \varphi=0.
Queremos o potencial elétrico em um ponto externo ao cilindro, expresso em coordenadas cilíndricas (s,\varphi), com s>R.
O que o problema pede:
Mostrar, usando o método das imagens e a condição de contorno apropriada para um condutor, que o potencial fora do cilindro vale
Dica do enunciado: considere uma imagem (outra linha de carga) localizada dentro do cilindro, em s'=\dfrac{R^{2}}{h}, com densidade \lambda' (ainda a determinar).
Condição de contorno para o condutor não aterrado: \left.\dfrac{\partial V}{\partial\varphi}\right|_{s=R}=0. (Isto significa que não existe campo tangencial na superfície do condutor; em um condutor em equilíbrio o campo tangencial deve ser nulo, de modo que o potencial na superfície é independente de \varphi — ou seja, é constante ao longo da circunferência.)
Passo 2
Fórmula básica: potencial de uma linha de carga infinita em 2D.
Campo elétrico radial produzido por uma linha infinita com densidade \lambda a uma distância radial r é
E_r(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}.
Explicação rápida: Gauss numa circunferência coaxial dá E_r(2\pi r)=\lambda/\varepsilon_0, daí E_r=\lambda/(2\pi\epsilon_0 r).
Potencial (com referência V(\infty)=0) obtém-se integrando -E_r de \infty até r:
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E_r(r')\,dr'=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{dr'}{r'}=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln r.
Portanto, o potencial causado por uma linha localizada em um ponto \mathbf{r_0} no plano transverse é, até uma constante, proporcional a -\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r_0}|.
Observação: aqui |\mathbf{r}-\mathbf{r_0}| é a distância euclidiana no plano perpendicular ao eixo do cilindro.
Passo 3
Superposição com imagem: escrevendo a contribuição da carga real e da imagem.
Seja a linha real com densidade \lambda em posição (s=h,\varphi=0). Denotamos por r_1 a distância entre o ponto (s,\varphi) e a linha real:
r_1=\sqrt{s^{2}+h^{2}-2hs\cos\varphi}.
Suponha uma linha imagem com densidade \lambda' colocada em (s' ,\varphi'=0) com s'=\dfrac{R^{2}}{h}. Denotamos por r_2 a distância entre (s,\varphi) e a linha imagem:
Pelo princípio da superposição, o potencial fora do cilindro devido às duas linhas (mais uma constante arbitrária C) é
V(s,\varphi)= -\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\bigl[\lambda\ln r_1+\lambda'\ln r_2\bigr] + C.
Nosso objetivo agora é determinar \lambda' e C impondo as condições de contorno do condutor.
Passo 4
Impor a condição de contorno na superfície s=R: \partial V/\partial\varphi=0.
Primeiro note o que significa esta condição fisicamente: \left.\dfrac{\partial V}{\partial\varphi}\right|_{s=R}=0 implica que o potencial sobre a circunferência s=R é independente de \varphi. Em um condutor em equilíbrio, o campo tangencial na superfície é nulo; como o campo tangencial é -\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial V}{\partial\varphi}, isso implica a condição dada. Assim exigimos V(R,\varphi) constante (em \varphi).
isto é, em qualquer ponto da superfície s=R as distâncias r_1 e r_2 são proporcionais por um fator constante \dfrac{R}{h} — portanto \ln r_2=\ln r_1+\ln\!\dfrac{R}{h}.
Substituindo na expressão do potencial na superfície:
Portanto a linha imagem deve ter densidade \lambda'=-\lambda (mesma magnitude, sinal oposto) e estar em s'=\dfrac{R^{2}}{h}.
Passo 5
Determinar a constante de referência e escrever o potencial final.
Com \lambda'=-\lambda a expressão do potencial externa (para s\ge R ou de modo geral fora do cilindro) fica
V(s,\varphi)=-\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\bigl[\lambda\ln r_1 -\lambda\ln r_2\bigr] + C =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\frac{r_1}{r_2}+C.
Podemos escolher a constante de referência C igual a zero adotando V(\infty)=0. Verifique que para grandes s temos r_1\sim r_2\sim s e, portanto, \ln(r_1/r_2)\to 0, o que garante V\to 0 no infinito sem necessidade de outro ajuste. Assim escolhemos C=0.
Substituindo as expressões de r_1 e r_2 obtemos exatamente
V(s,\varphi)=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left[\frac{\sqrt{s^{2}+h^{2}-2 h s \cos \varphi}}{\sqrt{s^{2}+\dfrac{R^{4}}{h^{2}}-2 \dfrac{R^{2}s}{h} \cos \varphi}}\right].
Passo 6
Interpretação física e observações finais (curiosidades úteis na prova).
A escolha da imagem em s'=\dfrac{R^{2}}{h} é uma consequência geométrica da inversão em relação à circunferência de raio R. Essa inversão transforma a linha externa numa linha interna de modo que as distâncias satisfaçam a relação usada acima, o que permite tornar V(R,\varphi) independente de \varphi.
O sinal \lambda'=-\lambda significa que a carga induzida na região interna (representada pela imagem) tem densidade oposta à da carga externa; isso corresponde à indução de cargas no condutor para cancelar o campo tangencial na superfície.
O potencial obtido é contínuo e satisfaz as equações de Laplace (no exterior, exceto na posição da linha real) e a condição de condutor na superfície. No infinito escolhemos V(\infty)=0.
Resposta
V(s,\varphi)=-\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \left[\frac{\sqrt{s^{2}+h^{2}-2 h s \cos \varphi}}{\sqrt{s^{2}+\frac{R^{4}}{h^{2}}-2 \frac{R^{2} s}{h} \cos \varphi}}\right]