Determine o valor de \beta para uma partícula com E=2,00 E_{0}\left(E_{0}\right. é a energia de repouso m c^{2} ).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a energia total da partícula é E=2,00\,E_{0}, onde E_{0} é a energia de repouso m c^{2}.
  • Pedido: determinar o valor de \beta, definido como a razão entre a velocidade da partícula e a velocidade da luz, isto é \beta = v/c.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinhos):
  • A energia total de uma partícula relativística está dada por E=\gamma\, m c^{2},
onde:
  • \gamma é o fator de Lorentz,
  • m é a massa de repouso,
  • c é a velocidade da luz.
  • O fator de Lorentz \gamma é definido por \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
onde \beta é \beta=v/c.
  • Interpretação: \gamma mostra quanto a energia (e o tempo, comprimento, etc.) se altera devido ao movimento relativo; \beta é um número adimensional entre 0 e 1 que indica a fração de c.

Passo 3

Relacionar os dados com \gamma:
  • Como E_{0}=m c^{2}, temos \frac{E}{E_{0}}=\frac{\gamma m c^{2}}{m c^{2}}=\gamma.
  • Pelo enunciado \dfrac{E}{E_{0}}=2,00, logo \gamma=2,00.

Passo 4

Isolar \beta em termos de \gamma e substituir \gamma=2,00:
  • A partir de \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} temos
\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{1}{\gamma}.
  • Elevando ao quadrado e isolando \beta^{2}:
1-\beta^{2}=\frac{1}{\gamma^{2}} \quad\Rightarrow\quad \beta^{2}=1-\frac{1}{\gamma^{2}}.
  • Portanto
\beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
  • Substituindo \gamma=2,00:
\beta=\sqrt{1-\frac{1}{(2,00)^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Valor numérico e interpretação:
  • Calculando numericamente \dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025\ldots
  • Interpretação física: a partícula move-se com velocidade v\approx0,866\,c, ou seja, cerca de 86{,}6\% da velocidade da luz.

Resposta

\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866

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