Três cargas pontuais idênticas são colocadas sobre um plano horizontal, formando um triângulo equilátero. Pretende-se colocar uma quarta carga, idêntica às demais, acima das três, exatamente no meio deste triângulo. Qual deve ser o menor coeficiente de atrito existente entre as três cargas iniciais e a superfície do plano para que a carga superior permaneça imóvel? Considere que a distância entre todas as cargas é a mesma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado; não foi pedido nada mais):
  • Há três cargas puntiformes idênticas colocadas sobre um plano horizontal, nos vértices de um triângulo equilátero.
  • Uma quarta carga idêntica é colocada acima do triângulo, exatamente no meio (no eixo perpendicular passando pelo centro do triângulo).
  • Foi dada a condição: a distância entre todas as cargas é a mesma. Ou seja, o lado do triângulo e a distância da carga superior a cada vértice têm o mesmo valor; denotaremos essa distância por \,a.
  • As massas das cargas sobre o plano (cada uma) valem m e a gravidade é g. As cargas elétricas têm valor q.
  • Quer-se encontrar o menor coeficiente de atrito \mu entre as três cargas do plano e a superfície, de modo que a carga superior permaneça imóvel (isto é, para que as três cargas do plano não escorreguem).
O que o problema pede:
  • Determinar o menor valor de \mu (em função de m,g,q,a,\varepsilon_0 ou da constante de Coulomb k) tal que as três cargas na base não se movam quando a quarta carga está colocada no centro acima delas.

Passo 2

Geometria do arranjo: relacione a altura da carga superior com o raio do círculo que passa pelos vértices do triângulo equilátero.
  • Chame a a distância comum entre quaisquer duas cargas (dado).
  • O centro (circuncentro/centroide) do triângulo equilátero fica a uma distância do vértice igual ao raio da circunferência circunscrita. Esse raio vale
R=\frac{a}{\sqrt{3}}.
  • A carga superior está no eixo perpendicular passando pelo centro, a uma altura h tal que a distância entre essa carga e qualquer vértice é a. Pelo teorema de Pitágoras:
\sqrt{R^{2}+h^{2}}=a \quad\Rightarrow\quad h=\sqrt{a^{2}-R^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Comentário rápido: assim sabemos as componentes geométricas dos vetores força entre a carga superior e uma carga da base.

Passo 3

Forças elétricas básicas e sua magnitude.
  • A constante eletrostática (constante de Coulomb) é
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • A magnitude da força de Coulomb entre quaisquer duas cargas q separadas por distância a é
F=\frac{kq^{2}}{a^{2}}.
Essa F vale tanto para a interação entre quaisquer dois vértices da base quanto para a interação entre a carga superior e qualquer vértice, já que todas as distâncias são a.

Passo 4

Componentes da força da carga superior sobre uma carga da base.
  • A força da carga superior sobre uma carga da base tem magnitude F e está dirigida ao longo da reta que liga a carga superior ao vértice. Essa força tem uma componente horizontal (radial, para fora do centro) e uma componente vertical (para baixo, pois a repulsão empurra a carga da base para longe da carga de cima, isto é, para baixo ao longo da vertical).
  • A componente horizontal vale F_{\text{top,h}}=F\cdot\frac{R}{a}. Usando R=\dfrac{a}{\sqrt{3}} obtemos
F_{\text{top,h}}=F\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • A componente vertical (para baixo) vale F_{\text{top,v}}=F\cdot\frac{h}{a}. Usando h=a\sqrt{\tfrac{2}{3}} obtemos
F_{\text{top,v}}=F\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 5

Resultante das forças horizontais originadas pelas outras duas cargas da base (sobre uma carga da base).
  • Cada uma das outras duas cargas da base exerce força de magnitude F sobre a carga considerada. Pelo arranjo simétrico, as componentes transversais (perpendiculares à direção radial) cancelam e as componentes radiais somam.
  • Calculando explicitamente (ou usando simetria): a soma das componentes horizontais das duas forças da base dá
F_{\text{base,h}}=F\sqrt{3}.
(Uma forma curta: cada uma dá componente horizontal F\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, somando F\sqrt{3}.)

Passo 6

Força horizontal total que tende a deslocar a carga da base para fora.
  • Somando a contribuição horizontal da carga superior e a das duas cargas da base,
F_{\text{h,total}}=F_{\text{base,h}}+F_{\text{top,h}}=F\sqrt{3}+F\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=F\left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=F\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}.
Explicação em palavras: esse é o módulo da força elétrica resultante na direção radial para fora que tende a fazer escorregar a carga na base; o atrito deve fornecer força igual e oposta para impedir o movimento.

Passo 7

Força normal e força máxima de atrito.
  • O peso da carga na base é mg para baixo.
  • A única outra força vertical é a componente vertical da força da carga superior, que é para baixo e tem módulo F_{\text{top,v}}=F\sqrt{\tfrac{2}{3}}. (As forças entre as cargas da base são horizontais e não têm componente vertical.)
  • Assim, a força normal N da superfície sobre a carga da base equilibrará essas forças verticais:
N=mg+F\sqrt{\frac{2}{3}}.
  • A força de atrito estático máxima vale f_{\max}=\mu N=\mu\left(mg+F\sqrt{\frac{2}{3}}\right).

Passo 8

Condição de equilíbrio horizontal e expressão para \mu_{\min}.
  • Para que a carga da base não deslize, a força de atrito máxima deve ser pelo menos igual à força elétrica resultante radial:
\mu\left(mg+F\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\ge F\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}.
  • O menor coeficiente de atrito (limite de escorregamento) é, portanto,
\mu_{\min}=\frac{F\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}}{mg+F\sqrt{\frac{2}{3}}}.
  • Substituindo F=\dfrac{kq^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q^{2}}{a^{2}}, uma forma alternativa é
\mu_{\min}=\frac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}\dfrac{kq^{2}}{a^{2}}}{mg+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\dfrac{kq^{2}}{a^{2}}} =\frac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}}{\dfrac{mg\,a^{2}}{kq^{2}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\,.

Resposta

\mu_{\min}=\frac{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\;\dfrac{kq^{2}}{a^{2}}}{\displaystyle mg+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\dfrac{kq^{2}}{a^{2}}} \quad\text{(onde }\;k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\text{).}

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