Três cargas pontuais idênticas são colocadas sobre um plano horizontal, formando um triângulo equilátero. Pretende-se colocar uma quarta carga, idêntica às demais, acima das três, exatamente no meio deste triângulo. Qual deve ser o menor coeficiente de atrito existente entre as três cargas iniciais e a superfície do plano para que a carga superior permaneça imóvel? Considere que a distância entre todas as cargas é a mesma.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado; não foi pedido nada mais):
- Há três cargas puntiformes idênticas colocadas sobre um plano horizontal, nos vértices de um triângulo equilátero.
- Uma quarta carga idêntica é colocada acima do triângulo, exatamente no meio (no eixo perpendicular passando pelo centro do triângulo).
- Foi dada a condição: a distância entre todas as cargas é a mesma. Ou seja, o lado do triângulo e a distância da carga superior a cada vértice têm o mesmo valor; denotaremos essa distância por
. - As massas das cargas sobre o plano (cada uma) valem
e a gravidade é . As cargas elétricas têm valor . - Quer-se encontrar o menor coeficiente de atrito
entre as três cargas do plano e a superfície, de modo que a carga superior permaneça imóvel (isto é, para que as três cargas do plano não escorreguem).
O que o problema pede:
- Determinar o menor valor de
(em função de ou da constante de Coulomb ) tal que as três cargas na base não se movam quando a quarta carga está colocada no centro acima delas.
Passo 2
Geometria do arranjo: relacione a altura da carga superior com o raio do círculo que passa pelos vértices do triângulo equilátero.
- Chame
a distância comum entre quaisquer duas cargas (dado). - O centro (circuncentro/centroide) do triângulo equilátero fica a uma distância do vértice igual ao raio da circunferência circunscrita. Esse raio vale
- A carga superior está no eixo perpendicular passando pelo centro, a uma altura
tal que a distância entre essa carga e qualquer vértice é . Pelo teorema de Pitágoras:
Comentário rápido: assim sabemos as componentes geométricas dos vetores força entre a carga superior e uma carga da base.
Passo 3
Forças elétricas básicas e sua magnitude.
- A constante eletrostática (constante de Coulomb) é
- A magnitude da força de Coulomb entre quaisquer duas cargas
separadas por distância é
Essa
vale tanto para a interação entre quaisquer dois vértices da base quanto para a interação entre a carga superior e qualquer vértice, já que todas as distâncias são
.
Passo 4
Componentes da força da carga superior sobre uma carga da base.
- A força da carga superior sobre uma carga da base tem magnitude
e está dirigida ao longo da reta que liga a carga superior ao vértice. Essa força tem uma componente horizontal (radial, para fora do centro) e uma componente vertical (para baixo, pois a repulsão empurra a carga da base para longe da carga de cima, isto é, para baixo ao longo da vertical). - A componente horizontal vale
. Usando obtemos
- A componente vertical (para baixo) vale
. Usando obtemos
Passo 5
Resultante das forças horizontais originadas pelas outras duas cargas da base (sobre uma carga da base).
- Cada uma das outras duas cargas da base exerce força de magnitude
sobre a carga considerada. Pelo arranjo simétrico, as componentes transversais (perpendiculares à direção radial) cancelam e as componentes radiais somam. - Calculando explicitamente (ou usando simetria): a soma das componentes horizontais das duas forças da base dá
(Uma forma curta: cada uma dá componente horizontal
, somando
.)
Passo 6
Força horizontal total que tende a deslocar a carga da base para fora.
- Somando a contribuição horizontal da carga superior e a das duas cargas da base,
Explicação em palavras: esse é o módulo da força elétrica resultante na direção radial para fora que tende a fazer escorregar a carga na base; o atrito deve fornecer força igual e oposta para impedir o movimento.
Passo 7
Força normal e força máxima de atrito.
- O peso da carga na base é
para baixo. - A única outra força vertical é a componente vertical da força da carga superior, que é para baixo e tem módulo
. (As forças entre as cargas da base são horizontais e não têm componente vertical.) - Assim, a força normal
da superfície sobre a carga da base equilibrará essas forças verticais:
- A força de atrito estático máxima vale
.
Passo 8
Condição de equilíbrio horizontal e expressão para
.
- Para que a carga da base não deslize, a força de atrito máxima deve ser pelo menos igual à força elétrica resultante radial:
- O menor coeficiente de atrito (limite de escorregamento) é, portanto,
- Substituindo
, uma forma alternativa é