Uma linha feita com tubo de aço com 2 in de diâmetro nominal e schedule 40 (ver tabela A.5-1), contém vapor saturado à 121,1^{\circ} \mathrm{C}. A linha é coberta com 25,4 \mathrm{~mm} de isolante (ki = 0,182 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). Assumindo que a temperatura na parte interna do tubo de aço é de 121,1^{\circ} \mathrm{C} e que a temperatura na superfície externa do isolante é de 26,7^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) A perda de calor por um comprimento de 30,5 \mathrm{~m} de tubo.
b) A quantidade de kg de vapor condensado por hora no tubo devido à perda de calor.
(OBS: De acordo com o apêndice A.3, pode-se considerar a condutividade térmica média do aço =45 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Tubo de aço nominal de 2 in, schedule 40 (valores geométricos retirados da tabela padrão):
    • diâmetro externo do tubo D_{o,\text{tubo}} = 60{,}3\\ \mathrm{mm}.
    • espessura da parede t = 3{,}91\\ \mathrm{mm}.
    • portanto raio interno do aço r_{s,1} = \dfrac{D_{o,\text{tubo}}}{2} - t = 26{,}24\\ \mathrm{mm}.
    • raio externo do aço r_{s,2} = \dfrac{D_{o,\text{tubo}}}{2} = 30{,}15\\ \mathrm{mm}.
      (os valores de D_{o,\text{tubo}} e t foram obtidos da tabela padrão de tubos para 2 in schedule 40)
  • Isolamento com espessura 25{,}4\\ \mathrm{mm} e condutividade térmica k_i = 0{,}182\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m\cdot K}).
  • Condutividade térmica média do aço k_s = 45\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m\cdot K}) (fornecida).
  • Temperatura na face interna do tubo de aço (superfície interna do aço) T_{i} = 121{,}1\,^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície externa do isolamento T_{o} = 26{,}7\,^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento do trecho: L = 30{,}5\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
a) A perda de calor total no trecho de 30{,}5\\ \mathrm{m} (potência térmica perdida, em W ou kW).
b) A massa de vapor condensada por hora devido a essa perda de calor (em \mathrm{kg/h}).
Observação prática que será usada: para condução radial em cilindro o coeficiente de resistência térmica por unidade de comprimento é R'=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k}. A perda de calor por unidade de comprimento é q'=\dfrac{T_i-T_o}{R'_{s}+R'_{i}} e a perda total é Q=q' \cdot L. Na parte (b) será preciso usar o calor latente de condensação \Delta h_{fg}; se não fornecido usarei um valor razoável e explicarei.

Passo 2

Explicando a ideia física e a fórmula que vamos usar (aula mastigada e passo a passo).
Quando o calor flui radialmente de um cilindro interno para o exterior (aqui: do interior do tubo para o exterior do isolamento) a resistência à condução em um cilindro oco entre raios r_1 e r_2 e condutividade k por unidade de comprimento é
R'=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k},
onde:
  • R' tem unidades \mathrm{K\cdot m/W} por metro de comprimento (resistência por comprimento);
  • r_1 e r_2 são raios internos e externos (em metros);
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W}/(\mathrm{m\cdot K}));
  • o fator 2\pi aparece por causa da circunferência do cilindro.
No nosso caso o calor atravessa sequencialmente:
  1. a parede do aço, entre r_{s,1} e r_{s,2}, com condutividade k_s;
  2. o isolamento, entre r_{s,2} e r_{i,2} (onde r_{i,2}=r_{s,2} + espessura do isolante), com condutividade k_i.
Como as resistências estão em série, a resistência total por unidade de comprimento é
R'_{\text{tot}} = R'_s + R'_i = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{s,2}}{r_{s,1}}\right)}{2\pi k_s} + \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{i,2}}{r_{s,2}}\right)}{2\pi k_i}.
A diferença de temperatura que impulsiona a condução é \Delta T = T_i - T_o. Assim a taxa de calor por unidade de comprimento é
q' = \frac{\Delta T}{R'_{\text{tot}}}\quad\left(\mathrm{W/m}\right).
E a perda total no comprimento L é
Q = q' \cdot L \quad(\mathrm{W}).
Para converter perda de energia em massa condensada: cada quilograma de vapor que condensa libera uma energia igual ao calor latente \Delta h_{fg} (em \mathrm{J/kg}). Logo a taxa de massa condensada (kg/s) é
\dot m = \frac{Q}{\Delta h_{fg}}.
Para obter \mathrm{kg/h} multiplica-se por 3600.
Observação sobre \Delta h_{fg}: o enunciado não deu explicitamente o calor latente à 121{,}1\,^\circ\mathrm{C}. Vou usar um valor representativo e redondamente aceitável para problemas de engenharia: \Delta h_{fg} = 2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} (ou 2{,}200\\ \mathrm{kJ/kg}). Esse valor é uma aproximação razoável para vapor saturado perto de 120\\ \!^\circ\mathrm{C}. Se for preciso, pode-se substituir por um valor de tabela mais preciso e recalcular facilmente.

Passo 3

Converter todos os comprimentos para metros e calcular os raios (com todos os passos numéricos explicados).
  • D_{o,\text{tubo}} = 60{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}0603\\ \mathrm{m}. Então r_{s,2}=\frac{D_{o,\text{tubo}}}{2}=0{,}03015\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede t = 3{,}91\\ \mathrm{mm} = 0{,}00391\\ \mathrm{m}. Então r_{s,1}=r_{s,2}-t=0{,}03015-0{,}00391=0{,}02624\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolante =25{,}4\\ \mathrm{mm}=0{,}0254\\ \mathrm{m}. Então raio externo do isolamento: r_{i,2}=r_{s,2}+0{,}0254=0{,}03015+0{,}0254=0{,}05555\\ \mathrm{m}.
Verifiquei as unidades: tudo em metros agora.

Passo 4

Calcular as resistências por unidade de comprimento usando as fórmulas e mostrar cada conta.
Resistência da parede de aço por unidade de comprimento:
R'_s=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{s,2}}{r_{s,1}}\right)}{2\pi k_s} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}03015}{0{,}02624}\right)}{2\pi\cdot 45}.
Calculemos a razão e o logaritmo:
\frac{r_{s,2}}{r_{s,1}}=\frac{0{,}03015}{0{,}02624}\approx 1{,}149, \qquad \ln(1{,}149)\approx 0{,}1390.
Denominador:
2\pi k_s = 2\pi\cdot 45 \approx 282{,}743.
Logo
R'_s \approx \frac{0{,}1390}{282{,}743}\approx 4{,}92\times 10^{-4}\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Resistência do isolante por unidade de comprimento:
R'_i=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{i,2}}{r_{s,2}}\right)}{2\pi k_i} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}05555}{0{,}03015}\right)}{2\pi\cdot 0{,}182}.
Calculemos:
\frac{r_{i,2}}{r_{s,2}}=\frac{0{,}05555}{0{,}03015}\approx 1{,}842, \qquad \ln(1{,}842)\approx 0{,}61098.
Denominador:
2\pi k_i = 2\pi\cdot 0{,}182 \approx 1{,}14324.
Logo
R'_i \approx \frac{0{,}61098}{1{,}14324}\approx 0{,}5346\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
A resistência do aço é muito pequena em relação à do isolante (normal: o isolante domina a resistência).
Resistência total por unidade de comprimento:
R'_{\text{tot}} = R'_s + R'_i \approx 0{,}000492 + 0{,}5346 \approx 0{,}5351\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 5

Calcular a perda por metro, em seguida a perda total no comprimento dado.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_o = 121{,}1 - 26{,}7 = 94{,}4\\ \mathrm{K}.
Perda de calor por unidade de comprimento:
q' = \frac{\Delta T}{R'_{\text{tot}}} = \frac{94{,}4}{0{,}5351}\approx 176{,}49\\ \mathrm{W/m}.
Perda total no comprimento L=30{,}5\\ \mathrm{m}:
Q = q' \cdot L \approx 176{,}49 \times 30{,}5 \approx 5{\,}382{,}1\\ \mathrm{W}\approx 5{,}38\\ \mathrm{kW}.
(Comentário amigo: o isolante faz a maior parte do trabalho; por isso a resistência do aço contribui quase zero.)

Passo 6

Calcular a massa de vapor condensada por hora, usando o calor latente aproximado.
Usando \Delta h_{fg}=2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} (aprox. 2{,}200\\ \mathrm{kJ/kg} a cerca de 120\,^\circ\mathrm{C}):
Taxa de massa condensada (kg/s):
\dot m = \frac{Q}{\Delta h_{fg}} = \frac{5{,}382{,}1\\ \mathrm{W}}{2{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}} \approx 2{,}446\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.
Converter para \mathrm{kg/h}:
\dot m_{h} = \dot m \times 3600 \approx 2{,}446\times10^{-3}\times 3600 \approx 8{,}81\\ \mathrm{kg/h}.
Observação: se se usar um valor ligeiramente diferente para \Delta h_{fg} (por exemplo 2{,}256\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}), o resultado muda pouco (por exemplo cerca de 8{,}6 8{,}9\\ \mathrm{kg/h}). Portanto o valor final tem precisão compatível com a aproximação do calor latente.

Resposta

a) Q \approx 5{,}382{,}1\\ \mathrm{W} \approx 5{,}38\\ \mathrm{kW}\n
b) \dot m \approx 8{,}81\\ \mathrm{kg/h}

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