Uma placa plana de espessura \Delta \mathrm{x} tem uma superfície mantida a \mathrm{T}_{1} \mathrm{e} outra a \mathrm{T}_{2}. Se a condutividade térmica varia de acordo com a temperatura na forma \mathrm{k}=\mathrm{a}+\mathrm{bT}+\mathrm{cT}^{3}, onde a , b e c são constantes, encontre a expressão para o fluxo de calor q/A quando a transferência de calor é unidimensional.

Passo 1

O enunciado dá uma placa plana de espessura \Delta x com uma face mantida à temperatura \mathrm{T}_1 e a outra à temperatura \mathrm{T}_2. A condutividade térmica depende da temperatura segundo
k(T)=a+bT+cT^{3},
onde a, b e c são constantes. A transferência de calor é unidimensional (variação só em x) e pede-se a expressão do fluxo de calor por unidade de área q/A.
Informações relevantes:
  • Espessura: \Delta x.
  • Temperaturas das faces: \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2.
  • Condutividade: k(T)=a+bT+cT^{3}.
  • Quer-se q/A (fluxo de calor por área) no regime estacionário unidimensional.

Passo 2

Apresentando a lei básica que vamos usar e explicando cada termo (aula rápida):
A relação fundamental para condução unidimensional em regime estacionário é a forma local da lei de Fourier:
\frac{q}{A} = -\,k(T)\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • \dfrac{q}{A} é a taxa de calor atravessando a seção por unidade de área (unidade, por ex., \mathrm{W/m^2}).
  • k(T) é a condutividade térmica local, que neste problema depende de T.
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura ao longo da espessura.
    O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (de maior para menor T).
Em regime estacionário, sem geração interna, \dfrac{q}{A} é constante em x (o mesmo em qualquer seção).

Passo 3

Separe variáveis para integrar (mostrar passo a passo):
Da equação
\frac{q}{A} = -\,k(T)\,\frac{dT}{dx},
isolamos dx:
dx = -\,\frac{k(T)}{q/A}\,dT.
Agora integramos ambos os lados atravessando a placa desde a face onde x=0 e T=\mathrm{T}_1 até x=\Delta x e T=\mathrm{T}_2:
\int_{0}^{\Delta x} dx = -\frac{1}{q/A}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
A integral à esquerda é simplesmente \Delta x. Assim:
\Delta x = -\frac{1}{q/A}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
Resolva para \dfrac{q}{A}:
\frac{q}{A} = -\frac{1}{\Delta x}\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.
Esta é a forma geral: o fluxo por área é proporcional à integral de k(T) sobre a variação de temperatura, com o sinal que garante direção do fluxo.

Passo 4

Agora substituímos k(T)=a+bT+cT^{3} e calculamos a integral termo a termo:
\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT = \int_{T_1}^{T_2} \bigl(a+bT+cT^{3}\bigr)\,dT.
Integramos cada termo:
\int_{T_1}^{T_2} a\,dT = a\,(T_2-T_1),
\int_{T_1}^{T_2} bT\,dT = \frac{b}{2}\,(T_2^{2}-T_1^{2}),
\int_{T_1}^{T_2} cT^{3}\,dT = \frac{c}{4}\,(T_2^{4}-T_1^{4}).
Somando,
\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT = a\,(T_2-T_1) + \frac{b}{2}\,(T_2^{2}-T_1^{2}) + \frac{c}{4}\,(T_2^{4}-T_1^{4}).

Passo 5

Substituindo essa integral na expressão para \dfrac{q}{A}:
\frac{q}{A} = -\frac{1}{\Delta x}\left[ a\,(T_2-T_1) + \frac{b}{2}\,(T_2^{2}-T_1^{2}) + \frac{c}{4}\,(T_2^{4}-T_1^{4})\right].
Podemos reorganizar para evidenciar a diferença (T_1-T_2) (útil para ver que, quando T_1>T_2, q/A>0):
\frac{q}{A} = \frac{1}{\Delta x}\left[ a\,(T_1-T_2) + \frac{b}{2}\,(T_1^{2}-T_2^{2}) + \frac{c}{4}\,(T_1^{4}-T_2^{4})\right].

Passo 6

Checagem rápida (sanidade): se b=c=0 (condutividade constante k=a), a expressão reduz a
\frac{q}{A} = \frac{a\,(T_1-T_2)}{\Delta x},
que é a forma clássica conhecida. Isso confirma que a expressão obtida generaliza corretamente o caso constante.

Resposta

\frac{q}{A} = \frac{1}{\Delta x}\left[ a\,(T_1-T_2) + \frac{b}{2}\,(T_1^{2}-T_2^{2}) + \frac{c}{4}\,(T_1^{4}-T_2^{4})\right]

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