Uma placa plana de espessura
tem uma superfície mantida a
outra a
. Se a condutividade térmica varia de acordo com a temperatura na forma
, onde a , b e c são constantes, encontre a expressão para o fluxo de calor q/A quando a transferência de calor é unidimensional.
Passo 1
O enunciado dá uma placa plana de espessura
com uma face mantida à temperatura
e a outra à temperatura
. A condutividade térmica depende da temperatura segundo
onde
,
e
são constantes. A transferência de calor é unidimensional (variação só em
) e pede-se a expressão do fluxo de calor por unidade de área
.
Informações relevantes:
- Espessura:
. - Temperaturas das faces:
e . - Condutividade:
. - Quer-se
(fluxo de calor por área) no regime estacionário unidimensional.
Passo 2
Apresentando a lei básica que vamos usar e explicando cada termo (aula rápida):
A relação fundamental para condução unidimensional em regime estacionário é a forma local da lei de Fourier:
A relação fundamental para condução unidimensional em regime estacionário é a forma local da lei de Fourier:
Aqui:
-
é a taxa de calor atravessando a seção por unidade de área (unidade, por ex., ). -
é a condutividade térmica local, que neste problema depende de . -
é o gradiente de temperatura ao longo da espessura.
O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (de maior para menor).
Em regime estacionário, sem geração interna,
é constante em
(o mesmo em qualquer seção).
Passo 3
Separe variáveis para integrar (mostrar passo a passo):
Da equação
Da equação
isolamos
:
Agora integramos ambos os lados atravessando a placa desde a face onde
e
até
e
:
A integral à esquerda é simplesmente
. Assim:
Resolva para
:
Esta é a forma geral: o fluxo por área é proporcional à integral de
sobre a variação de temperatura, com o sinal que garante direção do fluxo.
Passo 4
Agora substituímos
e calculamos a integral termo a termo:
Integramos cada termo:
Somando,
Passo 5
Substituindo essa integral na expressão para
:
Podemos reorganizar para evidenciar a diferença
(útil para ver que, quando
,
):
Passo 6
Checagem rápida (sanidade): se
(condutividade constante
), a expressão reduz a
que é a forma clássica conhecida. Isso confirma que a expressão obtida generaliza corretamente o caso constante.