Para verificar que E=y z ax+x z ay+x y a, V / m é verdadeiramente um campo elétrico, demonstre que: \
(a) nabla times E=0 \
(b) ointL E cdot d l=0, onde L é o perímetro de um quadrado definido por 0<x, y<2, z=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico
E(x,y,z)=y,z,ax ;+; x,z,ay ;+; x,y,az (V/m)
e pede:
(a) mostrar que nablatimesE=0;
(b) mostrar que ointLEcdot dl=0, onde L é o contorno do quadrado em z=1, 0<x,y<2.
Conteúdo usado: cálculo do rotacional em coordenadas cartesianas e Teorema de Stokes (ou propriedade de campo conservativo).

Passo 2

Calcular o rotacional por determinante:
nablatimesE = ax & ay & az partialpartial x&partialpartial y&partialpartial z y z & x z & x y
Componentes:
(nablatimesE)x =partialpartial y(x y);-;partialpartial z(x z) =x;-;x =0,
(nablatimesE)y =partialpartial z(y z);-;partialpartial x(x y) =y;-;y =0,
(nablatimesE)z =partialpartial x(x z);-;partialpartial y(y z) =z;-;z =0
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nablatimesE=0

Passo 3

Como nablatimesE=0 em toda a região (que é simplesmente conexa), E é um campo conservativo. Pelo Teorema de Stokes temos
ointLEcdot dl =integral duplaS(nablatimesE)cdotn,dS =integral duplaS0,dS =0

Passo 4

Alternativamente, poderíamos parametrizar os quatro lados do quadrado em z=1 e verificar que cada contribuição se anula no somatório, mas o argumento via Stokes é direto e evita esse cálculo explícito.

Resposta

(a) nablatimesE=0.
(b) ointLEcdot dl=0.

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