Em uma linha de montagem de placas eletrônicas (PCBs), sabe-se que 5 \% das placas apresentam defeito após o teste funcional automático. Em um lote de 200 placas, deseja-se calcular a probabilidade de que no máximo 15 placas estejam defeituosas, para verificar se o lote atende ao padrão de qualidade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado informa que 5\% das placas apresentam defeito após o teste funcional automático. Ou seja, a probabilidade de qualquer placa ser defeituosa é p=0,05.
  • O lote tem n=200 placas.
  • O que se pede: calcular a probabilidade de que, nesse lote, no máximo 15 placas estejam defeituosas. Em símbolos, queremos \Pr(X \le 15), onde X é o número de placas defeituosas no lote.

Passo 2

Definir o modelo probabilístico apropriado e escrever a fórmula exata.
  • Como cada placa pode ser defeituosa ou não, com probabilidade p constante e cada placa é presumidamente independente, o número de defeituosas X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Escrevemos
X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
  • A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n,
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (n choose k).
  • A probabilidade pedida é a soma cumulativa
\Pr(X\le 15)=\sum_{k=0}^{15}\binom{200}{k} (0,05)^{k} (0,95)^{200-k}.
  • Observação prática: calcular essa soma exata manualmente (termos com \binom{200}{k}) é muito trabalhoso sem calculadora/computador. Por isso usaremos uma aproximação adequada que seja viável na prova.

Passo 3

Escolher e justificar a aproximação a usar.
  • Há duas aproximações comuns para a binomial quando n é grande: a aproximação normal e a aproximação de Poisson (quando p é pequeno). Vamos avaliar:
    • Para a normal, regra prática: se np e n(1-p) são ambos maiores que aproximadamente 5, a aproximação normal costuma ser boa. Aqui np=200\cdot0,05=10 e n(1-p)=190, então a normal é razoável.
    • Para Poisson, usa-se quando p é pequeno e n grande, aproximando por \mathrm{Pois}(\lambda) com \lambda=np. Aqui \lambda=10 — Poisson também é uma opção.
  • Seguindo a heurística do exame (escolher método viável manualmente), eu escolho a aproximação normal com correção de continuidade porque np=10 é suficientemente grande para uma aproximação normal e a correção de continuidade melhora a precisão para probabilidades acumuladas de contagens inteiras.
  • Vou também mencionar a aproximação de Poisson rapidamente para comparar e dar confiança no resultado final.

Passo 4

Calcular os parâmetros da distribuição binomial (média e desvio-padrão) e preparar a normalização.
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) vale
\text{média } \mu = np,\qquad \text{variância } \sigma^{2}=np(1-p).éâ
  • Aqui
\mu = 200\cdot 0,05 = 10,
\sigma^{2} = 200\cdot 0,05\cdot 0,95 = 10\cdot 0,95 = 9,5,
portanto
\sigma = \sqrt{9,5}\approx 3,0822.
  • A ideia da aproximação normal com correção de continuidade: para \Pr(X\le 15) usamos a aproximação
\Pr(X\le 15)\approx \Pr\big(Y \le 15,5\big),
onde Y é uma normal Y\sim N(\mu,\sigma^{2}). O 0,5 é a correção de continuidade porque estamos passando de contagem inteira para variável contínua.

Passo 5

Calcular o escore z e usar a tabela da normal padrão.
  • Padronizando, definimos Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}\sim N(0,1). Então
\Pr(Y\le 15,5)=\Pr\!\left(Z\le \dfrac{15,5-\mu}{\sigma}\right).
  • Substituindo \mu=10 e \sigma\approx 3,0822,
\dfrac{15,5-10}{3,0822} = \dfrac{5,5}{3,0822}\approx 1,783.
  • Assim
\Pr(X\le 15)\approx \Pr(Z\le 1,783).
  • Usando a tabela da normal padrão (ou tabela \Phi), verifica-se que
\Phi(1,78)=0,9625,\qquad \Phi(1,79)=0,9633.
Interpolando para 1,783 (aproximadamente 30\% do caminho entre 1,78 e 1,79), obtemos aproximadamente
\Phi(1,783)\approx 0,9627.
  • Logo a probabilidade aproximada é \Pr(X\le 15)\approx 0,9627 (ou seja, cerca de 96{,}27\%).

Passo 6

Checagem rápida com a aproximação de Poisson (opcional) para ver concordância.
  • Aproximação de Poisson: X\approx \mathrm{Pois}(\lambda) com \lambda=np=10. Então
\Pr(X\le 15)\approx \sum_{k=0}^{15} e^{-10}\frac{10^{k}}{k!}.
  • Calcular essa soma exata manualmente também é trabalhoso, mas pode-se aproximar a soma de Poisson por uma normal com média 10 e desvio \sqrt{10}, levando à estimativa
\Pr(X\le 15)\approx \Phi\!\left(\dfrac{15,5-10}{\sqrt{10}}\right)=\Phi\!\left(\dfrac{5,5}{3,1623}\right)\approx \Phi(1,740)\approx 0,9591.
  • Resultado da Poisson-por-normal é cerca de 0,959, muito próximo do 0,963 obtido pela aproximação normal direta da binomial. Essa concordância aumenta a confiança no valor final.

Passo 7

Interpretação prática e conclusão final.
  • A probabilidade de que no máximo 15 das 200 placas estejam defeituosas é aproximadamente 0,963, ou seja, cerca de 96{,}3\%.
  • Interpretação: é bastante provável que o lote tenha no máximo 15 defeituosas; se o padrão de qualidade permite até 15 defeituosas, esse lote tem alta probabilidade de cumprir o padrão (aproximadamente 96{,}3\% de chance).

Resposta

\Pr(X\le 15)\approx 0,963

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