Em uma linha de montagem de placas eletrônicas (PCBs), sabe-se que
das placas apresentam defeito após o teste funcional automático. Em um lote de 200 placas, deseja-se calcular a probabilidade de que no máximo 15 placas estejam defeituosas, para verificar se o lote atende ao padrão de qualidade.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado informa que
das placas apresentam defeito após o teste funcional automático. Ou seja, a probabilidade de qualquer placa ser defeituosa é . - O lote tem
placas. - O que se pede: calcular a probabilidade de que, nesse lote, no máximo
placas estejam defeituosas. Em símbolos, queremos , onde é o número de placas defeituosas no lote.
Passo 2
Definir o modelo probabilístico apropriado e escrever a fórmula exata.
- Como cada placa pode ser defeituosa ou não, com probabilidade
constante e cada placa é presumidamente independente, o número de defeituosas segue a distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos
- A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
onde
é o coeficiente binomial (n choose k).
- A probabilidade pedida é a soma cumulativa
- Observação prática: calcular essa soma exata manualmente (termos com
) é muito trabalhoso sem calculadora/computador. Por isso usaremos uma aproximação adequada que seja viável na prova.
Passo 3
Escolher e justificar a aproximação a usar.
- Há duas aproximações comuns para a binomial quando
é grande: a aproximação normal e a aproximação de Poisson (quando é pequeno). Vamos avaliar: - Para a normal, regra prática: se
e são ambos maiores que aproximadamente , a aproximação normal costuma ser boa. Aqui e , então a normal é razoável. - Para Poisson, usa-se quando
é pequeno e grande, aproximando por com . Aqui — Poisson também é uma opção.
- Para a normal, regra prática: se
- Seguindo a heurística do exame (escolher método viável manualmente), eu escolho a aproximação normal com correção de continuidade porque
é suficientemente grande para uma aproximação normal e a correção de continuidade melhora a precisão para probabilidades acumuladas de contagens inteiras. - Vou também mencionar a aproximação de Poisson rapidamente para comparar e dar confiança no resultado final.
Passo 4
Calcular os parâmetros da distribuição binomial (média e desvio-padrão) e preparar a normalização.
- Para
vale
- Aqui
portanto
- A ideia da aproximação normal com correção de continuidade: para
usamos a aproximação
onde
é uma normal
. O
é a correção de continuidade porque estamos passando de contagem inteira para variável contínua.
Passo 5
Calcular o escore
e usar a tabela da normal padrão.
- Padronizando, definimos
. Então
- Substituindo
e ,
- Assim
- Usando a tabela da normal padrão (ou tabela
), verifica-se que
Interpolando para
(aproximadamente
do caminho entre
e
), obtemos aproximadamente
- Logo a probabilidade aproximada é
(ou seja, cerca de ).
Passo 6
Checagem rápida com a aproximação de Poisson (opcional) para ver concordância.
- Aproximação de Poisson:
com . Então
- Calcular essa soma exata manualmente também é trabalhoso, mas pode-se aproximar a soma de Poisson por uma normal com média
e desvio , levando à estimativa
- Resultado da Poisson-por-normal é cerca de
, muito próximo do obtido pela aproximação normal direta da binomial. Essa concordância aumenta a confiança no valor final.
Passo 7
Interpretação prática e conclusão final.
- A probabilidade de que no máximo
das placas estejam defeituosas é aproximadamente , ou seja, cerca de . - Interpretação: é bastante provável que o lote tenha no máximo
defeituosas; se o padrão de qualidade permite até defeituosas, esse lote tem alta probabilidade de cumprir o padrão (aproximadamente de chance).