Em uma subestação de distribuição, o número de falhas momentâneas em disjuntores eletrônicos segue aproximadamente uma distribuição de Poisson, com média de \lambda=40 falhas por dia, devido a surtos, variações de carga e pequenas instabilidades da rede. Para planejamento da equipe de manutenção, o engenheiro deseja saber qual é a probabilidade de, em um determinado dia, ocorrerem entre 35 e 50 falhas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: o número de falhas momentâneas por dia segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=40.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem entre 35 e 50 falhas?
Para resolver, vou interpretar “entre 35 e 50 falhas” como o evento \{35 \le X \le 50\}, isto é, inclusive 35 e 50. Então o objetivo numérico é calcular
\mathbb{P}(35 \le X \le 50).

Passo 2

Apresentando a fórmula exata da distribuição de Poisson (isso é teoria útil que cai direto na prova):
  • Se X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, então a probabilidade de X=k é dada por
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde \lambda é a média e variância da distribuição e k é um número inteiro não negativo.
  • Portanto, a resposta exata pedida é a soma
\mathbb{P}(35 \le X \le 50)=\sum_{k=35}^{50} e^{-40}\frac{40^{k}}{k!}.
Explicando em linguagem simples: isso significa somar as probabilidades individuais para k=35,36,\dots,50. Cada termo envolve 40^{k} e k! — dá para calcular com software ou calculadora estatística, mas é pesado para fazer à mão na prova sem máquina.

Passo 3

Escolha do método prático (e por que): quando \lambda é relativamente grande (regra prática: \lambda maior que cerca de 10), a distribuição de Poisson pode ser bem aproximada por uma distribuição Normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^{2}=\lambda. Isso permite calcular probabilidades somando áreas sob a curva normal, o que é muito mais prático manualmente.
Além disso, como estamos aproximando uma distribuição discreta por uma contínua, é importante usar a correção de continuidade: para \mathbb{P}(35 \le X \le 50) usamos o intervalo contínuo (34{,}5,\;50{,}5) na normal. Isso melhora bastante a aproximação.

Passo 4

Configurar a normal de aproximação e calcular média e desvio padrão:
  • Média da normal: \mu=\lambda=40.
  • Variância da normal: \sigma^{2}=\lambda=40.
  • Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{40}\approx 6{,}3246.
Usaremos a variável normal Y\sim N(\mu,\sigma^{2})=N(40,40) e a correção de continuidade, ou seja
\mathbb{P}(35 \le X \le 50)\approx \mathbb{P}\big(34{,}5<Y<50{,}5\big).

Passo 5

Transformar para a variável padrão Z (aquela com média 0 e variância 1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Calculamos as duas pontas (mostrar contas para fazer na prova):
  • Limite inferior:
z_{\text{inf}}=\frac{34{,}5-40}{\sqrt{40}}=\frac{-5{,}5}{6{,}3246}\approx -0{,}8694.
  • Limite superior:
z_{\text{sup}}=\frac{50{,}5-40}{\sqrt{40}}=\frac{10{,}5}{6{,}3246}\approx 1{,}6605.
Portanto
\mathbb{P}\big(34{,}5<Y<50{,}5\big)=\mathbb{P}\big(z_{\text{inf}}<Z<z_{\text{sup}}\big)=\Phi(z_{\text{sup}})-\Phi(z_{\text{inf}}),
onde \Phi é a função distribuição da Normal padrão.

Passo 6

Ler os valores da tabela da Normal padrão (ou usar calculadora):
  • \Phi(1{,}6605)\approx 0{,}9515 (valor da tabela ou calculadora para z\approx 1{,}66).
  • \Phi(-0{,}8694)=1-\Phi(0{,}8694). Pela tabela, \Phi(0{,}8694)\approx 0{,}8078, então \Phi(-0{,}8694)\approx 0{,}1922.
Subtraindo:
\Phi(1{,}6605)-\Phi(-0{,}8694)\approx 0{,}9515-0{,}1922=0{,}7593.
Interpretação amigável: isso quer dizer que, aproximadamente, em cerca de 75{,}93\% dos dias ocorrem entre 35 e 50 falhas, quando a média é 40.

Passo 7

Comentários finais e certeza da aproximação:
  • A aproximação por Normal com correção de continuidade costuma ser bastante boa para \lambda=40. Se for necessário valor exato (por exemplo para relatório ou nota), calcule a soma \sum_{k=35}^{50} e^{-40}40^{k}/k! em uma calculadora estatística, R, Python ou software similar — isso dará um valor muito próximo a 0{,}76.
  • Motivação rápida: usamos a Normal porque é mais rápida de calcular à mão e a regra prática \lambda\gtrsim 10 garante precisão razoável; a correção de continuidade reduz o erro da aproximação.

Resposta

0{,}7593

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