Em uma subestação de distribuição, o número de falhas momentâneas em disjuntores eletrônicos segue aproximadamente uma distribuição de Poisson, com média de
falhas por dia, devido a surtos, variações de carga e pequenas instabilidades da rede. Para planejamento da equipe de manutenção, o engenheiro deseja saber qual é a probabilidade de, em um determinado dia, ocorrerem entre 35 e 50 falhas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: o número de falhas momentâneas por dia segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. - Pergunta: qual é a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem entre 35 e 50 falhas?
Para resolver, vou interpretar “entre 35 e 50 falhas” como o evento
, isto é, inclusive 35 e 50. Então o objetivo numérico é calcular
Passo 2
Apresentando a fórmula exata da distribuição de Poisson (isso é teoria útil que cai direto na prova):
- Se
tem distribuição de Poisson com parâmetro , então a probabilidade de é dada por
onde
é a média e variância da distribuição e
é um número inteiro não negativo.
- Portanto, a resposta exata pedida é a soma
Explicando em linguagem simples: isso significa somar as probabilidades individuais para
. Cada termo envolve
e
— dá para calcular com software ou calculadora estatística, mas é pesado para fazer à mão na prova sem máquina.
Passo 3
Escolha do método prático (e por que): quando
é relativamente grande (regra prática:
maior que cerca de 10), a distribuição de Poisson pode ser bem aproximada por uma distribuição Normal com média
e variância
. Isso permite calcular probabilidades somando áreas sob a curva normal, o que é muito mais prático manualmente.
Além disso, como estamos aproximando uma distribuição discreta por uma contínua, é importante usar a correção de continuidade: para
usamos o intervalo contínuo
na normal. Isso melhora bastante a aproximação.
Passo 4
Configurar a normal de aproximação e calcular média e desvio padrão:
- Média da normal:
. - Variância da normal:
. - Desvio padrão:
Usaremos a variável normal
e a correção de continuidade, ou seja
Passo 5
Transformar para a variável padrão
(aquela com média 0 e variância 1). A fórmula de padronização é
Calculamos as duas pontas (mostrar contas para fazer na prova):
- Limite inferior:
- Limite superior:
Portanto
onde
é a função distribuição da Normal padrão.
Passo 6
Ler os valores da tabela da Normal padrão (ou usar calculadora):
-
(valor da tabela ou calculadora para ). -
. Pela tabela, , então .
Subtraindo:
Interpretação amigável: isso quer dizer que, aproximadamente, em cerca de
dos dias ocorrem entre 35 e 50 falhas, quando a média é 40.
Passo 7
Comentários finais e certeza da aproximação:
- A aproximação por Normal com correção de continuidade costuma ser bastante boa para
. Se for necessário valor exato (por exemplo para relatório ou nota), calcule a soma em uma calculadora estatística, R, Python ou software similar — isso dará um valor muito próximo a . - Motivação rápida: usamos a Normal porque é mais rápida de calcular à mão e a regra prática
garante precisão razoável; a correção de continuidade reduz o erro da aproximação.