Uma concessionária de energia deseja estimar a altura média dos operadores que trabalham na manutenção de painéis e linhas de distribuição, pois essa informação será utilizada no dimensionamento ergonômico de equipamentos e na altura ideal de instalação de componentes elétricos. Sabe-se que o quadro total de funcionários é composto por 250 operadores, sendo 100 homens e 150 mulheres, e há a suspeita de que exista diferença de altura média entre esses dois grupos. Para realizar o estudo, será selecionada uma amostra de 30 operadores, utilizando o método AAE, de forma que a representatividade de cada grupo seja mantida na amostra.
Passo 1
O que o enunciado nos pede e o que já foi dado:
- Pedido: selecionar uma amostra de
operadores usando AAE (Amostragem Aleatória Estratificada) de modo que a representatividade de cada grupo (homens e mulheres) seja mantida na amostra. Logo, precisamos determinar quantos operadores da amostra devem ser homens e quantos devem ser mulheres. - Informações fornecidas:
- Tamanho do quadro total:
funcionários. - Número de homens:
. - Número de mulheres:
. - Tamanho da amostra total desejada:
.
- Tamanho do quadro total:
- Observação direta do enunciado: o método a ser usado é AAE e a representatividade de cada grupo deve ser mantida. Não há outras exigências numéricas (por exemplo requisitos mínimos por estrato ou razão de precisão).
Passo 2
Breve explicação didática do que significa “manter a representatividade” e qual ideia vamos usar.
- Manter a representatividade aqui quer dizer que a proporção de cada estrato (homens e mulheres) na amostra deve ser igual à proporção desses estratos na população. Ou seja, se
da população são homens, então da amostra também deve ser composta por homens. Isso evita viés por sub ou super‑amostragem de um dos grupos. - A forma mais simples e comum de fazer isso na amostragem estratificada é a alocação proporcional. A ideia é distribuir a amostra total
entre os estratos na mesma proporção em que os estratos aparecem na população.
Passo 3
Apresentação da fórmula da alocação proporcional e explicação das variáveis.
- Fórmula (alocação proporcional) para o tamanho da amostra no estrato
:
onde:
-
é o tamanho do estrato na população (aqui: para homens e para mulheres); -
é o tamanho total da população; -
é o tamanho total da amostra; -
é o número de unidades da amostra que devem ser selecionadas no estrato . - Por que essa fórmula? Porque
é a proporção do estrato na população; multiplicando essa proporção por obtemos a mesma proporção na amostra.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao estrato “homens” e explicando passo a passo as contas.
- Colocando os valores na fórmula para os homens:
- Simplificando a fração:
- Então:
- Interpretação didática: como
em é da população, na amostra de devemos ter de , ou seja homens.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao estrato “mulheres” e explicando passo a passo as contas.
- Colocando os valores na fórmula para as mulheres:
- Simplificando a fração:
- Então:
- Interpretação didática: como
em é da população, na amostra de devemos ter de , ou seja mulheres.
Passo 6
Verificação de consistência e comentário sobre arredondamento.
- Verificação da soma:
portanto a alocação preserva o total da amostra.
- Comentário geral sobre arredondamento: se os
calculados resultassem em números fracionários, seria necessário arredondar para inteiros. Um procedimento comum é: - arredondar cada
para o inteiro mais próximo e, se a soma ficar diferente de , ajustar os estratos com maiores restos (método do maior resto) até que a soma seja . - No nosso caso não há necessidade porque os valores vieram inteiros.
- arredondar cada
Passo 7
Instruções práticas e passo a passo para sortear os indivíduos dentro de cada estrato (como implementar a AAE na prática).
- Organizar as listas: obter a lista completa dos
homens e dos mulheres, cada pessoa com um identificador único (por exemplo, números de a para homens e a para mulheres). Sempre registre os IDs para possibilitar checagem posterior. - Para o estrato “homens”: sortear aleatoriamente
IDs sem reposição entre os . Métodos práticos: - Gerador de números aleatórios (Excel): adicionar uma coluna com
e ordenar; escolher os primeiros . - Tabela de números aleatórios ou função de sorteio em software estatístico (R:
).
- Gerador de números aleatórios (Excel): adicionar uma coluna com
- Para o estrato “mulheres”: repetir o processo para sortear
entre as . - Confirmar que não houve duplicação e que o total sorteado é
. - Documentar o procedimento (método de RNG, semente se aplicável, data) para garantir reprodutibilidade.
Passo 8
Observações finais, dicas úteis e incentivo.
- Se o objetivo futuro for estimar a média de altura com precisão ótima e houver diferença grande nas variâncias dos estratos, existe um método mais eficiente chamado alocação de Neyman (que dá mais amostra ao estrato com maior variância). Mas como o enunciado pede manter a representatividade, a alocação proporcional é a escolha natural e simples.
- Atenção prática: se precisar estimar variâncias por estrato e algum estrato ficasse com amostra muito pequena, isso prejudica estimativas; nesse caso considerar um mínimo por estrato (por exemplo pelo menos
observações) ou aumentar o . - Força aí — a parte de seleção da amostra é direta: com as contas que fizemos e os passos pra sortear, você já tem tudo para executar a AAE corretamente.
Resposta
Homens:
Mulheres:
Mulheres: