Uma concessionária de energia deseja estimar a altura média dos operadores que trabalham na manutenção de painéis e linhas de distribuição, pois essa informação será utilizada no dimensionamento ergonômico de equipamentos e na altura ideal de instalação de componentes elétricos. Sabe-se que o quadro total de funcionários é composto por 250 operadores, sendo 100 homens e 150 mulheres, e há a suspeita de que exista diferença de altura média entre esses dois grupos. Para realizar o estudo, será selecionada uma amostra de 30 operadores, utilizando o método AAE, de forma que a representatividade de cada grupo seja mantida na amostra.

Passo 1

O que o enunciado nos pede e o que já foi dado:
  • Pedido: selecionar uma amostra de \,30\, operadores usando AAE (Amostragem Aleatória Estratificada) de modo que a representatividade de cada grupo (homens e mulheres) seja mantida na amostra. Logo, precisamos determinar quantos operadores da amostra devem ser homens e quantos devem ser mulheres.
  • Informações fornecidas:
    • Tamanho do quadro total: \,N=250\, funcionários.
    • Número de homens: \,N_H=100\,.
    • Número de mulheres: \,N_M=150\,.
    • Tamanho da amostra total desejada: \,n=30\,.
  • Observação direta do enunciado: o método a ser usado é AAE e a representatividade de cada grupo deve ser mantida. Não há outras exigências numéricas (por exemplo requisitos mínimos por estrato ou razão de precisão).

Passo 2

Breve explicação didática do que significa “manter a representatividade” e qual ideia vamos usar.
  • Manter a representatividade aqui quer dizer que a proporção de cada estrato (homens e mulheres) na amostra deve ser igual à proporção desses estratos na população. Ou seja, se \,40\% da população são homens, então \,40\% da amostra também deve ser composta por homens. Isso evita viés por sub ou super‑amostragem de um dos grupos.
  • A forma mais simples e comum de fazer isso na amostragem estratificada é a alocação proporcional. A ideia é distribuir a amostra total n entre os estratos na mesma proporção em que os estratos aparecem na população.

Passo 3

Apresentação da fórmula da alocação proporcional e explicação das variáveis.
  • Fórmula (alocação proporcional) para o tamanho da amostra no estrato h:
n_h = \frac{N_h}{N}\,n
onde:
  • \,N_h\, é o tamanho do estrato h na população (aqui: \,N_H\, para homens e \,N_M\, para mulheres);
  • \,N\, é o tamanho total da população;
  • \,n\, é o tamanho total da amostra;
  • \,n_h\, é o número de unidades da amostra que devem ser selecionadas no estrato h.
  • Por que essa fórmula? Porque \dfrac{N_h}{N} é a proporção do estrato h na população; multiplicando essa proporção por n obtemos a mesma proporção na amostra.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao estrato “homens” e explicando passo a passo as contas.
  • Colocando os valores na fórmula para os homens:
n_H = \frac{N_H}{N}\,n = \frac{100}{250}\cdot 30.
  • Simplificando a fração:
\frac{100}{250} = \frac{100\div50}{250\div50}=\frac{2}{5}=0{,}4.
  • Então:
n_H = 0{,}4\cdot 30 = 12.
  • Interpretação didática: como \,100 em \,250 é 40\% da população, na amostra de \,30 devemos ter 40\% de \,30, ou seja \,12 homens.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao estrato “mulheres” e explicando passo a passo as contas.
  • Colocando os valores na fórmula para as mulheres:
n_M = \frac{N_M}{N}\,n = \frac{150}{250}\cdot 30.
  • Simplificando a fração:
\frac{150}{250} = \frac{150\div50}{250\div50}=\frac{3}{5}=0{,}6.
  • Então:
n_M = 0{,}6\cdot 30 = 18.
  • Interpretação didática: como \,150 em \,250 é 60\% da população, na amostra de \,30 devemos ter 60\% de \,30, ou seja \,18 mulheres.

Passo 6

Verificação de consistência e comentário sobre arredondamento.
  • Verificação da soma:
n_H + n_M = 12 + 18 = 30 = n,
portanto a alocação preserva o total da amostra.
  • Comentário geral sobre arredondamento: se os n_h calculados resultassem em números fracionários, seria necessário arredondar para inteiros. Um procedimento comum é:
    • arredondar cada n_h para o inteiro mais próximo e, se a soma ficar diferente de n, ajustar os estratos com maiores restos (método do maior resto) até que a soma seja n.
    • No nosso caso não há necessidade porque os valores vieram inteiros.

Passo 7

Instruções práticas e passo a passo para sortear os indivíduos dentro de cada estrato (como implementar a AAE na prática).
  1. Organizar as listas: obter a lista completa dos \,100\, homens e dos \,150\, mulheres, cada pessoa com um identificador único (por exemplo, números de 1 a 100 para homens e 1 a 150 para mulheres). Sempre registre os IDs para possibilitar checagem posterior.
  2. Para o estrato “homens”: sortear aleatoriamente \,12\, IDs sem reposição entre os \,100. Métodos práticos:
    • Gerador de números aleatórios (Excel): adicionar uma coluna com \,\text{=RAND()} \, e ordenar; escolher os primeiros \,12\,.
    • Tabela de números aleatórios ou função de sorteio em software estatístico (R: \,\text{sample(1:100, 12)}\,).
  3. Para o estrato “mulheres”: repetir o processo para sortear \,18\, entre as \,150\,.
  4. Confirmar que não houve duplicação e que o total sorteado é \,30\,.
  5. Documentar o procedimento (método de RNG, semente se aplicável, data) para garantir reprodutibilidade.

Passo 8

Observações finais, dicas úteis e incentivo.
  • Se o objetivo futuro for estimar a média de altura com precisão ótima e houver diferença grande nas variâncias dos estratos, existe um método mais eficiente chamado alocação de Neyman (que dá mais amostra ao estrato com maior variância). Mas como o enunciado pede manter a representatividade, a alocação proporcional é a escolha natural e simples.
  • Atenção prática: se precisar estimar variâncias por estrato e algum estrato ficasse com amostra muito pequena, isso prejudica estimativas; nesse caso considerar um mínimo por estrato (por exemplo pelo menos \,5 observações) ou aumentar o n.
  • Força aí — a parte de seleção da amostra é direta: com as contas que fizemos e os passos pra sortear, você já tem tudo para executar a AAE corretamente.

Resposta

Homens: \,12\,
Mulheres: \,18\,

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