Em uma linha de produção de eixos mecânicos, pequenos defeitos superficiais ocorrem de forma aleatória e independente ao longo do material. Sabe-se que o número de defeitos por metro de eixo segue uma distribuição de Poisson com média de 1,5 defeitos por metro. Um engenheiro está analisando um eixo de 50 centímetros. Qual a probabilidade de que ele encontre pelo menos um defeito?
(A) 0,472
(B) 0,827
(C) 0,173
(D) 0,777
(E) 0,528
(A) 0,472
(B) 0,827
(C) 0,173
(D) 0,777
(E) 0,528
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O número de defeitos por metro segue uma distribuição de Poisson com média de
defeitos por metro. - O engenheiro analisa um eixo de comprimento
A pergunta é: qual a probabilidade de que ele encontre pelo menos um defeito nesse trecho de?
As alternativas fornecidas são: (A), (B) , (C) , (D) , (E) .
Passo 2
Vamos revisar a ideia da distribuição de Poisson (passo-a-passo, como se fosse aula curta).
- A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de eventos raros que ocorrem aleatoriamente e independentemente em um intervalo (de tempo, comprimento, área, etc.).
- Se a média (esperança) de ocorrências no intervalo considerado é
, então a probabilidade de ocorrer exatamente eventos é
onde
.
- No nosso caso há uma taxa dada por defeitos por metro. Se a taxa é
defeitos por metro e o comprimento é metros, então a média para esse comprimento é
Aqui
é a média por metro e
é o comprimento em metros. Essa propriedade vem da escala espacial da Poisson — média proporcional ao tamanho do intervalo.
Passo 3
Aplicando ao problema: a taxa é
defeitos por metro e o trecho tem
. Portanto a média esperada de defeitos nesse trecho é
Ou seja, para os
esperamos em média
defeitos.
Passo 4
Queremos a probabilidade de pelo menos um defeito, isto é
. É mais fácil calcular o complementar:
Usando a fórmula da Poisson para
:
Substituindo
obtemos
Agora calculamos numericamente. Tem-se
, logo
Arredondando para três casas decimais fica
.
Passo 5
Comparando com as alternativas, o valor
corresponde à alternativa (E). Força aí nos estudos — lembra: pensar no complementar (1 − P(0)) é o truque rápido para “pelo menos um”.
Resposta
(E) 0,528