Em uma linha de produção de eixos mecânicos, pequenos defeitos superficiais ocorrem de forma aleatória e independente ao longo do material. Sabe-se que o número de defeitos por metro de eixo segue uma distribuição de Poisson com média de 1,5 defeitos por metro. Um engenheiro está analisando um eixo de 50 centímetros. Qual a probabilidade de que ele encontre pelo menos um defeito?
(A) 0,472
(B) 0,827
(C) 0,173
(D) 0,777
(E) 0,528

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O número de defeitos por metro segue uma distribuição de Poisson com média de \,1{,}5 defeitos por metro.
  • O engenheiro analisa um eixo de comprimento \,50\\ \text{cm} = 0{,}5\\ \text{m}.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que ele encontre pelo menos um defeito nesse trecho de \,0{,}5\\ \text{m}?
    As alternativas fornecidas são: (A) 0{,}472, (B) 0{,}827, (C) 0{,}173, (D) 0{,}777, (E) 0{,}528.

Passo 2

Vamos revisar a ideia da distribuição de Poisson (passo-a-passo, como se fosse aula curta).
  • A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de eventos raros que ocorrem aleatoriamente e independentemente em um intervalo (de tempo, comprimento, área, etc.).
  • Se a média (esperança) de ocorrências no intervalo considerado é \mu, então a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(X=k)=\frac{e^{-\mu}\,\mu^{k}}{k!},
onde k=0,1,2,\dots.
  • No nosso caso há uma taxa dada por defeitos por metro. Se a taxa é \lambda defeitos por metro e o comprimento é L metros, então a média para esse comprimento é
\mu=\lambda\cdot L.
Aqui \lambda é a média por metro e L é o comprimento em metros. Essa propriedade vem da escala espacial da Poisson — média proporcional ao tamanho do intervalo.

Passo 3

Aplicando ao problema: a taxa é \lambda=1{,}5 defeitos por metro e o trecho tem L=0{,}5\\ \text{m}. Portanto a média esperada de defeitos nesse trecho é
\mu=\lambda\cdot L=1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75.
Ou seja, para os \,0{,}5\\ \text{m} esperamos em média \,0{,}75 defeitos.

Passo 4

Queremos a probabilidade de pelo menos um defeito, isto é P(X\ge 1). É mais fácil calcular o complementar:
P(X\ge 1)=1-P(X=0).
Usando a fórmula da Poisson para k=0:
P(X=0)=\frac{e^{-\mu}\,\mu^{0}}{0!}=e^{-\mu}.
Substituindo \mu=0{,}75 obtemos
P(X\ge 1)=1-e^{-0{,}75}.
Agora calculamos numericamente. Tem-se e^{-0{,}75}\approx 0{,}472366\ldots, logo
P(X\ge 1)\approx 1-0{,}472366\ldots = 0{,}527633\ldots
Arredondando para três casas decimais fica 0{,}528.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o valor 0{,}528 corresponde à alternativa (E). Força aí nos estudos — lembra: pensar no complementar (1 − P(0)) é o truque rápido para “pelo menos um”.

Resposta

(E) 0,528

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