A temperatura média diária (em °C) em uma sala de exames de uma clínica médica segue uma distribuição Normal, com valor médio de 17^{\circ} \mathrm{C} e desvio padrão de 2,2^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o valor da temperatura tal que em 30,5 \% dos dias a temperatura da sala seja superior a esse valor?
(A) 15,88^{\circ} \mathrm{C}
(B) 17,51^{\circ} \mathrm{C}
(C) 18,12^{\circ} \mathrm{C}
(D) 19,47^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: a temperatura diária X segue distribuição Normal com média \mu=17^{\circ}\mathrm{C} e desvio padrão \sigma=2,2^{\circ}\mathrm{C}. Ou seja,
X \sim N\bigl(17,\;2{,}2^{2}\bigr).
  • Informação: queremos o valor x tal que em 30{,}5\% dos dias a temperatura seja superior a esse valor. Em símbolos, pedem x tal que
P\bigl(X>x\bigr)=0{,}305.
O que precisa ser encontrado: o número x (em ^{\circ}\mathrm{C}) que satisfaz essa condição.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
  • A distribuição Normal é simétrica e totalmente descrita pela média \mu e pelo desvio padrão \sigma.
  • É útil transformar X numa variável Normal padrão Z com média 0 e desvio 1 usando o escore-z (z-score):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição N(0,1). O significado prático: valores de Z dizem quantos desvios-padrão o valor X está distante da média.
  • Para converter uma probabilidade sobre X em uma probabilidade sobre Z, usa-se:
P(X>x)=P\!\left(Z>\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
  • Para encontrar x a partir de uma probabilidade, primeiro passamos a probabilidade para a forma acumulada (percentil): se P(X>x)=p, então P(X\le x)=1-p. Depois achamos o quantil z tal que P(Z\le z)=1-p (isto é, o inverso da função de distribuição acumulada padrão), e por fim voltamos para x com
x=\mu+z\,\sigma.

Passo 3

Aplicando o passo lógico: transformar a probabilidade complementar em percentil.
Temos P(X>x)=0{,}305. Então
P(X\le x)=1-0{,}305=0{,}695.
Isso significa que x é o 69{,}5\%-percentil da distribuição de X. Em termos da Normal padrão Z, procuramos z tal que
P(Z\le z)=0{,}695.

Passo 4

Encontrar z tal que \Phi(z)=0{,}695 (onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão).
  • Usando uma tabela da Normal padrão (ou uma calculadora que forneça quantis), procura-se o valor de z com \Phi(z) mais próximo de 0{,}695.
  • Na tabela padrão nota-se que \Phi(0{,}51)=0{,}6950 (exatamente). Logo podemos tomar
z=0{,}51.
Se não houver a coincidência exata na tabela, faria uma pequena interpolação, mas aqui já temos um valor direto suficiente.

Passo 5

Voltar para x usando a relação x=\mu+z\,\sigma.
Substituindo \mu=17, \sigma=2{,}2 e z=0{,}51:
x = 17 + 0{,}51\times 2{,}2.
Calculemos passo a passo:
0{,}51\times 2{,}2 = 0{,}51\times 2 + 0{,}51\times 0{,}2 = 1{,}02 + 0{,}102 = 1{,}122.
Portanto
x = 17 + 1{,}122 = 18{,}122\ldots
Arredondando para duas casas decimais, x\approx 18{,}12^{\circ}\mathrm{C}.
Observação amiga: faz sentido — é um pouco acima da média porque queremos o valor acima do qual caem 30{,}5\% dos dias (o percentil 69{,}5\% fica acima da média).

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide com o valor calculado é a alternativa (C) 18{,}12^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

18{,}12^{\circ}\mathrm{C}

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